胡列维茨定理

在数学中，胡列维茨定理是代数拓扑的一个基本结论。定理通过“胡列维茨同态”将同伦论与同调论联系起来，是庞加莱此前部分结论的推广。胡列维茨定理以維托爾德·胡列維茨（英语：Witold Hurewicz）命名。

定理陈述

胡列维茨定理是连接同伦群和同调群的关键一环。

对于任意空间 $X$ 和任意正整数 $k$ ，都存在群同态（构造见本小节末尾）

h_{\ast }\colon \,\pi _{k}(X)\to H_{k}(X)\,\!

称为从 $k$ 阶同伦群到 $k$ 阶（整系数）同调群的胡列维茨同态。当 $k=1$ 且 $X$ 道路连通时，胡列维茨同态等价于标准的阿贝尔化映射

h_{\ast }\colon \,\pi _{1}(X)\to \pi _{1}(X)/[\pi _{1}(X),\pi _{1}(X)]\to H_{1}(X).\,\!

胡列维茨定理声明，若 $X$ 是(n -1)-连通空间，那么对于所有 $k\leq n$ ，胡列维茨同态都是群同构（当 $n\geq 2$ ）或阿贝尔化（当 $n=1$ ）。特别地，定理说明第一同伦群（即基本群）的阿贝尔化同构于第一同调群：

H_{1}(X)\cong \pi _{1}(X)/[\pi _{1}(X),\pi _{1}(X)].\,\!

因此，如果 $X$ 道路连通且 $\pi _{1}(X)$ 是完美群，那么 $X$ 的第一同调群为零。

此外，当 $X$ 是(n -1)-连通时（ $n\geq 2$ ），胡列维茨同态 $\pi _{n+1}(X)\to H_{n+1}(X)$ 都是满同态（满射）。

胡列维茨同态由如下方式给定：设 $u_{n}\in H_{n}(S^{n})$ 为标准生成元，那么胡列维茨映射将同伦类 $f\in \pi _{n}(X)$ 映射到 $f_{*}(u_{n})\in H_{n}(X)$ 。

拓扑空间的胡列维茨定理对于n-连通、满足阚条件的单纯集合也有对应陈述。^[1]

设 $X$ 为单连通拓扑空间，并对于所有 $i\leq r$ 满足 $\pi _{i}(X)\otimes \mathbb {Q} =0$ 。那么胡列维茨映射

h\otimes \mathbb {Q} :\pi _{i}(X)\otimes \mathbb {Q} \longrightarrow H_{i}(X;\mathbb {Q} )

对于 $1\leq i\leq 2r$ 为同构，且对于 $i=2r+1$ 是满射。^[2]^[3]

^ Goerss, P. G.; Jardine, J. F., Simplicial Homotopy Theory, Progress in Mathematics 174, Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, 1999, ISBN 978-3-7643-6064-1 , III.3.6, 3.7
^ Klaus, S.; Kreck, M., A quick proof of the rational Hurewicz theorem and a computation of the rational homotopy groups of spheres, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 2004, 136: 617–623, doi:10.1017/s0305004103007114
^ Cartan, H.; Serre, J. P., Espaces fibres et groupes d'homotopie, II, Applications, C. R. Acad. Sci. Paris, 1952, 2 (34): 393–395

Brown, R., Triadic Van Kampen theorems and Hurewicz theorems, Contemporary Mathematics, 1989, 96: 39–57, ISSN 0040-9383, doi:10.1090/conm/096/1022673
Brown, Ronald; Higgins, P. J., Colimit theorems for relative homotopy groups, Journal of Pure and Applied Algebra, 1981, 22: 11–41, ISSN 0022-4049, doi:10.1016/0022-4049(81)90080-3
Brown, R.; Loday, J.-L., Homotopical excision, and Hurewicz theorems, for n-cubes of spaces, Proceedings of the London Mathematical Society. Third Series, 1987, 54: 176–192, ISSN 0024-6115, doi:10.1112/plms/s3-54.1.176
Brown, R.; Loday, J.-L., Van Kampen theorems for diagrams of spaces, Topology, 1987, 26 (3): 311–334, ISSN 0040-9383, doi:10.1016/0040-9383(87)90004-8
Rotman, Joseph J., An Introduction to Algebraic Topology, Graduate Texts in Mathematics 119, Springer-Verlag, 19881998-07-22, ISBN 978-0-387-96678-6
Whitehead, George W., Elements of Homotopy Theory, Graduate Texts in Mathematics 61, Springer-Verlag, 1978, ISBN 978-0-387-90336-1