譜指數

譜指數是天文學上依據來源頻率的輻射通量密度測量的。給定頻率$\nu$和輻射通量 $S$，譜指數$\alpha$由下式給定：

$S\propto \nu ^{\alpha }.$

請注意，如果通量沒有遵從冪律，譜指數本身是頻率的函數。重新排列上式，我們看見譜指數成為

$\alpha \!\left(\nu \right)={\frac {\partial \log S\!\left(\nu \right)}{\partial \log \nu }}.$

譜指數也可以用波長 $\lambda$來界定。在這種情況下，譜指數 $\alpha$由下式給定：

$S\propto \lambda ^{\alpha },$

並且在給定的頻率上，譜指數可以由下式的計算導出：

$\alpha \!\left(\lambda \right)={\frac {\partial \log S\!\left(\lambda \right)}{\partial \log \lambda }}.$

通常習慣上會使用負號，因此譜指數成為

$S\propto \nu ^{-\alpha }.$

譜指數可以暗示其屬性。例如，使用正號呈現，在無線電的頻率譜指數從0到2指示是熱輻射，而不合理 (陡峭) 的負譜指數通常指示是同步輻射。

熱輻射的譜指數

在無線電頻率 (即在低頻，長波的限制)，其中瑞利-金斯定律是良好的近似於熱輻射的頻譜，強度可以表示為：

$B_{\nu }(T)\simeq {\frac {2\nu ^{2}kT}{c^{2}}}.$

考慮到兩側的對數，可以導出為$\log \,\nu$得到

${\frac {\partial \log B_{\nu }(T)}{\partial \log \nu }}\simeq 2.$

使用正號表示，在瑞利-金斯制度下的熱輻射譜指數因此是$\alpha \simeq 2$。在較短的波長下譜指數會偏離這個值，因此瑞利-金斯定律的近似值會變得越來越不準確，當強度達到維恩位移定律所給的頻率峰值時會趨近於零。因為在瑞利-金斯制度下簡化的溫度相關於輻射通量，電波譜指數被定義為：

$S\propto \nu ^{\alpha }T.$