離散正弦變換 （DST for Discrete Sine Transform）是一種與傅立葉變換 相關的變換，類似離散傅立葉變換 ，但是只用實數 矩陣。離散正弦變換相當於長度約為它兩倍，一個實數且奇對稱 輸入資料的的離散傅立葉變換的虛數部分（因為一個實奇輸入的傅立葉變換為純虛數奇對稱輸出）。有些變型裡將輸入或輸出移動半個取樣。
一種相關的變換是離散餘弦變換 ，相當於長度約為它兩倍，實偶函数 的離散傅立葉變換 。參考DCT本文有關邊界條件和不同的DCT和DST關聯的一般討論。
離散正弦變換常被用來由譜方法解偏微分方程，這時候離散正弦變換的不同的變數對應著兩端不同的奇/偶邊界條件。
形式上，離散正弦變換是一個線性 的可逆 函數
F
:
R
N
→
R
N
{\displaystyle F:R^{N}\rightarrow R^{N}}
R 為實數 集，或等價的說是一個
N
×
N
{\displaystyle N\times N}
方陣 。離散正弦變換有幾種稍微不同定義的變形，皆根據以下公式之一把
N
{\displaystyle N}
x
0
,
…
,
x
N
−
1
{\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{N-1}}
N
{\displaystyle N}
X
0
,
…
,
X
N
−
1
{\displaystyle X_{0},\ldots ,X_{N-1}}
DST-I
X
k
=
∑
n
=
0
N
−
1
x
n
sin
[
π
N
+
1
(
n
+
1
)
(
k
+
1
)
]
k
=
0
,
…
,
N
−
1
{\displaystyle X_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\sin \left[{\frac {\pi }{N+1}}(n+1)(k+1)\right]\quad \quad k=0,\dots ,N-1}
一個DST-I矩陣為正交矩陣 （差一個係數）。
N
=
3
{\displaystyle N=3}
abc 的DST-I變換等價於8點實數0abc0(-c)(-b)(-a) （奇對稱）的DFT轉換，再除2（而DST-II~DST-IV等價於DFT有半個取樣的位移）。
因而DST-I對應的邊界條件是：
x
n
{\displaystyle x_{n}}
n
=
−
1
{\displaystyle n=-1}
n
=
N
{\displaystyle n=N}
X
k
{\displaystyle X_{k}}
DST-II
X
k
=
∑
n
=
0
N
−
1
x
n
sin
[
π
N
(
n
+
1
2
)
(
k
+
1
)
]
k
=
0
,
…
,
N
−
1
{\displaystyle X_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\sin \left[{\frac {\pi }{N}}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)(k+1)\right]\quad \quad k=0,\dots ,N-1}
DST-III
X
k
=
(
−
1
)
k
2
x
N
−
1
+
∑
n
=
0
N
−
2
x
n
sin
[
π
N
(
n
+
1
)
(
k
+
1
2
)
]
k
=
0
,
…
,
N
−
1
{\displaystyle X_{k}={\frac {(-1)^{k}}{2}}x_{N-1}+\sum _{n=0}^{N-2}x_{n}\sin \left[{\frac {\pi }{N}}(n+1)\left(k+{\frac {1}{2}}\right)\right]\quad \quad k=0,\dots ,N-1}
DST-IV
X
k
=
∑
n
=
0
N
−
1
x
n
sin
[
π
N
(
n
+
1
2
)
(
k
+
1
2
)
]
k
=
0
,
…
,
N
−
1
{\displaystyle X_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\sin \left[{\frac {\pi }{N}}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\left(k+{\frac {1}{2}}\right)\right]\quad \quad k=0,\dots ,N-1}
一個DST-IV矩陣為正交矩陣 （差一個係數）。
DST V-VIII
DST-I的反變換是把DST-I乘以
1
N
+
1
{\displaystyle {\frac {1}{N+1}}}
2
N
{\displaystyle {\frac {2}{N}}}
2
N
{\displaystyle {\frac {2}{N}}}
類似離散傅立葉變換 ，這些定義前面的歸一係數只是習慣，不同人有不同定義。例如有人在變換前面乘
2
N
{\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{N}}}}
S. A. Martucci, "Symmetric convolution and the discrete sine and cosine transforms," IEEE Trans. Sig. Processing SP-42, 1038-1051 (1994).
Matteo Frigo and Steven G. Johnson: FFTW, http://www.fftw.org/ （页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ）. A free (GPL) C library that can compute fast DSTs (types I-IV) in one or more dimensions, of arbitrary size. Also M. Frigo and S. G. Johnson, "The Design and Implementation of FFTW3," Proceedings of the IEEE 93 (2), 216–231 (2005).
![{\displaystyle X_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\sin \left[{\frac {\pi }{N+1}}(n+1)(k+1)\right]\quad \quad k=0,\dots ,N-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebbaf9d8750d87d0c1565cc7d4953c99d6eaf57e)
![{\displaystyle X_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\sin \left[{\frac {\pi }{N}}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)(k+1)\right]\quad \quad k=0,\dots ,N-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ec4a97c9d25b6266d25cd0d66623125a8732469)
![{\displaystyle X_{k}={\frac {(-1)^{k}}{2}}x_{N-1}+\sum _{n=0}^{N-2}x_{n}\sin \left[{\frac {\pi }{N}}(n+1)\left(k+{\frac {1}{2}}\right)\right]\quad \quad k=0,\dots ,N-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaf69b9150d88dbb7ad408958aefaa7b3338ca50)
![{\displaystyle X_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\sin \left[{\frac {\pi }{N}}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\left(k+{\frac {1}{2}}\right)\right]\quad \quad k=0,\dots ,N-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d240979de077d6ef8b3b352dd1b2da2158fd1c88)
