渐近线

在解析几何和微分学中，曲线的渐近线（英語：asymptote^{[註 1]}）是一条使得当 $x$ 或 $y$ 坐标之一或两者趋于无穷大时，曲线与该线之间的距离接近零的线。在射影几何和相关上下文中，曲线的渐近线是在无穷大点处与曲线相切的线。

渐近线分为三种类型：水平、垂直和倾斜。对于由函数 $y=f(x)$ 的图给出的曲线，水平渐近线是水平线，函数的图随着 $x$ 趋于 $+\infty$ 或 $-\infty$ 趋近于水平线。垂直渐近线是垂直线，函数在该垂直线附近无限增长。斜渐近线的斜率非零但有限，因此当 $x$ 趋于 $+\infty$ 或 $-\infty$ 时，函数的图接近该斜率。

更一般地说，如果两条曲线之间的距离趋于无穷大，则两条曲线之间的距离趋向于零，则一条曲线是另一条曲线的曲线渐近线，尽管术语“渐近线”本身通常是为线性渐近线保留的。

渐近线传达有关大曲线特性的信息，确定函数的渐近线是绘制函数图的重要步骤。从广义上讲，对功能渐近线的研究是渐近分析主题的一部分。当任意曲线上一点 $M$ 沿曲线无限远离原点时，如果 $M$ 到一条直线（或另外一条曲线）的距离无限趋近于零，那么这条直线（曲线）称为这条曲线的渐近线。數學上的定義則是：若函數 $y=f\left(x\right)$ 的圖形收斂，則漸近線為 $y=\lim _{x\to \infty }f\left(x\right)$ 。

例解

例如，直线 $y={\frac {b}{a}}x$ 是双曲线 ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ 的渐近线，因为双曲线上的点 $M$ 到直线 $y={\frac {b}{a}}x$ 的距离 $MQ<MN$ ；当 $MN$ 无限趋近于0时， $MQ$ 也无限趋近于0。所以按照定义，直线 $y={\frac {b}{a}}x$ 是该双曲线的渐近线。同理，直线 $y=-{\frac {b}{a}}x$ 也是该双曲线的渐近线。

对于 $F\left(x,y\right)=0$ 来说，如果当 $x\rightarrow a$ 时，有 $y\rightarrow \pm \infty$ （左右極限不一定相等），就把 $x=a$ 叫做 $F\left(x,y\right)=0$ 的垂直渐近线；如果当 $x\rightarrow \infty$ 时，有 $y\rightarrow b$ ，就把 $y=b$ 叫做 $F\left(x,y\right)=0$ 的水平渐近线。例如， $y=3$ 是曲线 $xy=3x+2$ 的水平渐近线。

求法

依据

求渐近线，可以依据以下结论：

若极限 $\lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{x}}=a$ 存在，且极限 $\lim _{x\to \infty }\left[f\left(x\right)-ax\right]=b$ 也存在，那么曲线 $y=f\left(x\right)$ 具有渐近线 $y=ax+b$ 。