测度收敛 是测度论 中的一个概念： 假设可测空间上有一个有趣却很难直接构造的测度μ，我们希望能找到一列相对容易构造或分析的测度
μ
n
{\displaystyle \mu _{n}}
n
{\displaystyle n}
μ
n
{\displaystyle \mu _{n}}
μ
{\displaystyle \mu }
序列的极限 的想法一致：对于任何可接受的误差
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
N
{\displaystyle N}
n
⩾
N
{\displaystyle n\geqslant N}
μ
n
{\displaystyle \mu _{n}}
μ
{\displaystyle \mu }
ε
{\displaystyle \varepsilon }
下面介绍3种最常见的测度收敛的定义。
在数学 和统计学 中, 弱收敛 (即为泛函分析 中的 弱*收敛 )是 测度论 中广泛应用的一种收敛。
下面是几种测度弱收敛的等价定义。 这些等价定义被称为 portmanteau定理 .[ 1]
定义
S
{\displaystyle S}
Borel σ-代数
Σ
{\displaystyle \Sigma }
度量空间 。我们称一列(S , Σ)上的 概率测度
P
n
{\displaystyle P_{n}}
n
=
1
,
2
,
.
.
.
{\displaystyle n=1,2,...}
P
{\displaystyle P}
P
n
⇒
P
{\displaystyle P_{n}\Rightarrow P}
如果下面任何一条条件得到满足 (
E
n
{\displaystyle E_{n}}
μ
{\displaystyle \mu }
E
{\displaystyle E}
P
{\displaystyle P}
E
n
f
→
E
f
{\displaystyle E_{n}f\rightarrow Ef}
f
{\displaystyle f}
E
n
f
→
E
f
{\displaystyle E_{n}f\rightarrow Ef}
Lipschitz条件 的函数
f
{\displaystyle f}
lim sup
E
n
f
⩾
E
f
{\displaystyle \limsup E_{n}f\geqslant Ef}
上半连续 的函数
f
{\displaystyle f}
lim inf
E
n
f
⩾
E
f
{\displaystyle \liminf E_{n}f\geqslant Ef}
下半连续 的函数
f
{\displaystyle f}
lim sup
P
n
(
C
)
⩾
P
(
C
)
{\displaystyle \limsup P_{n}(C)\geqslant P(C)}
S 中的闭集
C
{\displaystyle C}
lim inf
P
n
(
U
)
⩾
P
(
U
)
{\displaystyle \liminf P_{n}(U)\geqslant P(U)}
S 中的开集
U
{\displaystyle U}
lim
P
n
(
A
)
⩾
P
(
A
)
{\displaystyle \lim P_{n}(A)\geqslant P(A)}
A
{\displaystyle A}
^ Achim Klenke, Probability theory (2006) Springer-Verlag, ISBN 978-1-848000-047 -6 doi:10.1007/978-1-848000-048-3
Ambrosio, L., Gigli, N. & Savaré, G. Gradient Flows in Metric Spaces and in the Space of Probability Measures. Basel: ETH Zürich, Birkhäuser Verlag. 2005. ISBN 3-7643-2428-7 Billingsley, Patrick. Probability and Measure . New York, NY: John Wiley & Sons, Inc. 1995. ISBN 0-471-00710-2 Billingsley, Patrick. Convergence of Probability Measures . New York, NY: John Wiley & Sons, Inc. 1999. ISBN 0-471-19745-9 
