有理映射

在代數幾何中，有理映射是定義在概形的稠密開集上的態射。有理映射及由此引生的雙有理等價是古典代數幾何學的主要對象。

定義

固定概形 $V,W$ 。考慮所有的資料 $(U,f)$ ，其中 $U\subset V$ 是稠密開集，而 $f:U\to W$ 是態射；這些資料代表了 $U$ 上「部份定義」的態射， $U$ 代表 $f$ 的定義域。定義下述等價關係：

(U,f)\sim (U',g)\iff f|_{U\cap U'}=g|_{U\cap U'}

此外，注意到稠密性保證 $U\cap U'$ 也是 $V$ 中的稠密開集。當 $V$ 不可約，則所有非空開集都是稠密的。若再假設 $V$ 既約而 $W$ 是分離概形，則任一等價類有唯一一個定義域最大的代表元。

從概形 $V$ 到 $W$ 的有理映射 $f$ 是其中的一個等價類 $[U,f]$ 。

若 $f$ 是從 $U$ 到 $V$ ， $g$ 是從 $V$ 到 $W$ 的有理映射，則一般並不能定義其合成 $g\circ f$ 。但是當 $f$ 的像（對某個，因而對每個代表元 $(U_{0},f_{U_{0}})$ ）在 $V$ 中稠密時，對每個 $g$ 的代表元 $(V_{0},g_{V_{0}})$ ， $f_{U_{0}}(U_{0})\cap V_{0}$ 皆非空，此時可以定義 $g\circ f:=[f_{U_{0}}^{-1}(V_{0}),g_{V_{0}}\circ f_{U_{0}}]$ 。

同理，若 $V$ 與 $W$ 都是 $S$ 上的概形，也可以類似地定義 $S$ -有理映射。

例子

設 $k$ 為整環，設 $V:=\mathbb {A} _{k}^{n}$ 、 $W:=\mathbb {A} _{k}^{m}$ ，則從 $V$ 到 $W$ 的任何有理映射 $f$ 有唯一的表法：

f=\left({\dfrac {f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})}{g_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})}},\ldots ,{\dfrac {f_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n})}{g_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n})}}\right)

其中 $f_{i},g_{i}$ 是多項式。該有理映射可以在 $\mathbb {A} _{k}^{n}\setminus \bigcup _{i}\{g_{i}=0\}$ 上定義。

此外，對於不可約 $k$ -概形 $X$ ，其上的有理函數一一對應到從 $X$ 到 $\mathbb {P} _{k}^{1}$ 的有理映射。

優勢映射與雙有理等價

之前考慮合成問題時，曾利用像的稠密性條件；滿足該條件的有理映射稱為優勢映射。由於優勢映射可以作合成，定義從概形 $V$ 到 $W$ 的雙有理等價為一個優勢映射 $f$ ，使得存在另一個從 $W$ 到 $V$ 的優勢映射 $g$ ，使 $f\circ g=\mathrm {id} _{W}$ 、 $g\circ f=\mathrm {id} _{V}$ 。

以下考慮域 $k$ 上的不可約代數簇及其間的 $k$ -有理映射。有理映射的地位在於：透過有理函數的「拉回」運算，代數簇之間的優勢映射對應到函數域之間的映射，而雙有理等價對應到函數域的同構。由此可知代數簇的雙有理等價範疇等價於函數域的反範疇。

雙有理等價的例子

雙有理等價的定義較同構寬，因為我們容許態射在某維度較低的閉集上未定義。一個例子是 $\mathbb {P} _{k}^{2}$ 與 $X:xy-wz=0\subset \mathbb {P} _{k}^{3}$ ，兩者雙有理等價，而並不同構。原因如下： $\mathbb {P} _{k}^{2}$ 中的任兩條閉曲線都有交點，而在 $X$ 中， $w=x=0$ 與 $y=z=0$ 不相交，因而 $X$ 與 $\mathbb {P} _{k}^{2}$ 並不同構。

另一方面， $X$ 的函數域可以在仿射開集 $w\neq 0$ 上計算，此開集的座標環是 $k[x,y,z]/(xy-z)\simeq k[x,y]$ ，其函數域是 $k(x,y)$ ；這也是 $\mathbb {P} _{k}^{2}$ 的函數域，於是二者雙有理等價。若細審上述論證，事實上能寫出所求雙有理等價的式子。

參見

雙有理幾何

文獻

Grothendieck, Alexandre; Jean Dieudonné. Éléments de géométrie algébrique 2nd edition. Berlin; New York: Springer-Verlag. 1971. ISBN 978-3-540-05113-8 （法语）.
Hartshorne, Robin. Algebraic Geoemtry. Berlin; New York: Springer-Verlag. 1977. ISBN 978-0-387-90244-9 （英语）.