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开集

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數學上,特別是拓樸學中,開集是對實數開區間進行推廣之後得到的抽象集合

通常微積分的課程中,會借助歐式空間距離去描述數列極限;直觀上,當 越來越大時數列 要多靠近有多靠近的時候,就說 是數列 的極限,但這需要距離去嚴謹的描述「靠近程度」,開集就是來自於" 點附近"這樣的直觀概念。類似的,函數極限也需要距離的概念去嚴謹定義。

满足的点着蓝色。满足的点着红色。红色的点形成了开集。红色和蓝色的点的并集是闭集。

定義

直觀上,於「開集」或說「不含邊界的集合」中任取一點,都可以找到一個以此點為圓心,且半徑足夠小到落在「開集」裡的圓盤(但圓盤的邊界可能不在開集內)。開集的嚴謹定義由此而來。

歐式空間

所謂的維歐式空間,指的是囊括所有实数n-元組的集合(記為)。 為了定義開集,可以推廣勾股定理,將 中任兩點歐式距離定義為:

然後定義所謂的(維)開球(open ball):

也就是直觀上,一個以為球心,為半徑但不包含表面的球體

這樣就可以作如下的定義:

定義 — 
,且對所有 ,存在一个 ,使,那麼就說子集中的一個開集

也就是直觀上,取開集 的任意點 都有一個以 為球心的開球完全包含於

賦距空间

只要把上節的歐式距離改成一般的度量,開集的概念很容易推廣到賦距空间中。

以下把 中的開球(open ball)定義成:

這樣就可以作如下的定義:

定義 — 
的子集,且對所有 ,存在 使 ,則稱 的一個開集

這的確推廣了歐式空間部分的定義,因為歐式距離 本身就組成了一個賦距空間

賦距空間的開集還會有以下的性質:

定理 — 
為賦距空間,則

(1) 也是 的開集。

(2) 若 都是 的開集,則 也是 的開集。

(3) 的一個子集族),若所有 都是 的開集,則 也是 的開集。(也就是直觀上,任意數量開集的聯集也是開集)

證明
(1) 對每個都有,所以是自己的一個開集;另外對所有都有(直觀上來說沒有點可以當開球的球心),所以邏輯上不用驗證是否有開球包含於,就可以得到滿足開集的定義 (直觀上來說,前提為假的話,不論結論是否為真,「前提=>結論」都是對的)。


(2) 若,依據假設存在 使得 ,這樣取 的話,就有,是故也是 的開集。


(3) 若,依照聯集的性質,存在 使得 ;但根據假設, 都是 的開集,換句話說,存在 使 ,那因為 ,所以有 ,是故 也是 的開集。

事實上這些性質這就是拓扑空间定義的動機。

拓撲空間

開集是拓扑空间定義的基石;也就是從任意母集合 出發,再選取 的特定的子集族 ,規定 中的集合就是開集,这樣的子集族 被叫做 上的拓扑

定義 — 
為集合,若 滿足

(1)

(2) 若

(3) ,則 。(也就是說,任意數量開集的聯集也是開集)

則稱 上的拓撲,並稱 為一拓撲空間。任何 被稱為開集

根據上一節賦距空間的性質,取 為所有 的開集所構成的子集族,則 也是一拓撲空間。

例子

  • 度量空间中,以点为中心,为半径的球体为开集,任意的开集包含以为中心,充分小的为半径的球体
  • 流形中的开集为子流形

用处

开集在拓扑学分支中有著基础的重要性。當定义拓扑空间和其他拓扑结构(处理邻近性收敛此類概念,比如度量空间一致空间)時,都會用到开集的概念。

拓扑空间的每個子集都包含至少一个(可能为空)开集;最大的这种开集被叫做内部。它可以通过取包含在中的所有开集的并集来构造。

给定拓扑空间以及函数,如果在中的所有开集的前像是在中的开集,則连续的,這是實函數上的連續定義的推廣,時這與實函數的連續定義等價。如果在中的所有开集的中的开集,映射被叫做开映射

实直线上的开集都是可数個不相交开区间的并集。

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注释