加法單位元

在數學裡，一個具有加法運算的集合中的加法單位元，是指不論它加上任何一個在此集合內的元素x都會等於x的元素。

基本例子

• 初等數學中所熟悉的加法單位元為0。

如：

5 + 0 = 5 = 0 + 5.

• 在自然數N和其所有的父集(整數Z、有理數Q、實數R、複數C)內，其加法單位元皆為0。所以對於任何一個數n，

n + 0 = n = 0 + n.

形式定義

令N是一個在加法運算下封閉的集合。N的加法單位元即為任一個能使所有在N內的元素n有下列公式的元素e：

e + n = n = n + e.

更多例子

• 在一個群裡，加法單位元即是這個群的單位元，通常標記做0，並且是唯一的(見下面證明)。

• 一個環或一個體也會是一個在加法運算下的群，因此它們也會有一個唯一的加法單位元0。它被定義必須和乘法單位元1不同，若環(或體)有兩個以上的元素時。如果加法單位元和乘法單位元是同一個的話，這個環則會是當然的(見下面證明)。

• 在一個於群G上的m乘n階矩陣所組成的群M_m×n(G)裡，其加法單位元標記為0，且會是個其元素都是在G內的單位元0的m乘n矩陣。例如，在一個於整數上的2階方陣M₂(Z)裡，其加法單位元為

$0={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}$.

證明

加法單位元在一個群裡是唯一的

令(G,+)是一個群，且設0和0'是在G內的兩個加法單位元，則對於所有在G內的g而言，

0 + g = g = g + 0 且 0' + g = g = g + 0'.

由上可得

(0') = (0') + 0 = 0' + (0) = (0)

故可證明 0 = 0'。

加法和乘法單位元在一個非平凡環裡是不同的

令R是一個環，且假設加法單位元0和乘法單位元1會相等，即0=1。設r為於R內的任一元素，則

r = r × 1 = r × 0 = 0

其表示R必須是平凡的，亦即R={0}。再依照換質位法，即可得出若R不是平凡的，則0不會等於1的結論。

另見

• 加法逆元
• 單位元
• 乘法單位元

外部連結

• 加法單位元在一個環裡的唯一性 at PlanetMath.
• Margherita Barile. 加法單位元. MathWorld. 

參考文獻

• David S. Dummit, Richard M. Foote, Abstract Algebra, Wiley (3d ed.): 2003, ISBN 0-471-43334-9.