刘维尔–阿诺德定理

动力系统理论中，刘维尔–阿诺德定理指出，若在具有n自由度的哈密顿力学系统中，存在n个泊松交换的独立第一运动积分，且能级集是紧的，则就存在到作用量-角度坐标的正则变换，变换后的哈密顿量只依赖于作用量坐标，角度坐标随时间线性变化。因此，若能分离级同时集（level simultaneous set）条件，系统的运动方程便可通过化方求解。定理得名于约瑟夫·刘维尔和弗拉基米尔·阿诺德。

历史

定理的原始形式是刘维尔于1853年针对$\mathbb {R} ^{2n}$上具有规范辛结构的函数证明的。阿诺德在1974年出版的教科书《经典力学的数学方法》中给出了到辛流形的推广。

陈述

初步定义

令$(M^{2n},\omega )$是$2n$维辛流形，具有辛结构$\omega$。

$M^{2n}$上的可积系统是$M^{2n}$上的n个函数组成的集合，记作$F=(F_{1},\cdots ,F_{n})$，满足

• （一般）线性独立：稠密集上$dF_{1}\wedge \cdots \wedge dF_{n}\neq 0$
• 相互泊松交换：泊松括号$(F_{i},F_{j})$对任意一对$i,j$都为0

泊松括号是每个$F_{i}$对应的哈密顿向量场的李氏括号。简单说，若$X_{H}$是对应于光滑函数$H:M^{2n}\rightarrow \mathbb {R}$的哈密顿向量场，则对两光滑函数$F,G$，泊松括号是$(F,G)=[X_{F},X_{G}]$。

若$df_{1}\wedge \cdots \wedge df_{n}(p)\neq 0$，则称点p是正则点（regular point）。

可积系统定义了函数$F:M^{2n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$。$L_{\mathbf {c} }$表示函数$F_{i}$的水平集 $$L_{\mathbf {c} }=\{x:F_{i}(x)=c_{i}\},$$ 或记作$L_{\mathbf {c} }=F^{-1}(\mathbf {c} )$。

若给$M^{2n}$附加一个区分函数H的结构，则当H可以补全（completed）为可积系统时（即存在可积系统$F=(F_{1}=H,F_{2},\cdots ,F_{n})$），哈密顿系统$(M^{2n},\omega ,H)$是可积的。

定理

若$(M^{2n},\omega ,F)$是可积哈密顿系统、p是正则点，则定理描述了正则点的像$c=F(p)$的水平集$L_{c}$：

• $L_{c}$是光滑流形，在由$H=F_{1}$引发的哈密顿流作用下不变（因此在可积系统的任何元素引发的哈密顿流下也不变）。
• 若$L_{c}$更紧且连通，则就微分同胚于N-环面$T^{n}$。
• $L_{c}$上存在（局部）坐标$(\theta _{1},\cdots ,\theta _{n},\omega _{1},\cdots ,\omega _{n})$，使得$\omega _{i}$在水平集上为常，而${\dot {\theta }}_{i}:=(H,\theta _{i})=\omega _{i}$。这些坐标称作作用量-角度坐标。

刘维尔可积系统例子

可积的哈密顿系统可称作“刘维尔意义上可积”或“刘维尔可积”。比较知名的例子如下。

一些记号是文献中的标准符号。考虑的辛流形是$\mathbb {R} ^{2n}$时，其坐标通常写作$(q_{1},\cdots ,q_{n},p_{1},\cdots ,p_{n})$，规范辛形式是$\omega =\sum _{i}dq_{i}\wedge dp_{i}$。除非另有说明，否则本节将假设这些参数。

• 哈密顿谐振子：$(\mathbb {R} ^{2n},\omega ,H)$，其中$H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )=\sum _{i}\left({\frac {p_{i}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega _{i}^{2}q_{i}^{2}\right)$。定义$H_{i}={\frac {p_{i}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega _{i}^{2}q_{i}^{2}$，可积系统是$(H,H_{1},\cdots ,H_{n-1})$。

• 连心力系统$(\mathbb {R} ^{6},\omega ,H)$，其中$H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )={\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}-U(\mathbf {q} ^{2})$，U是某势函数。定义角动量$\mathbf {L} =\mathbf {p} \times \mathbf {q}$，可积系统是$(H,\mathbf {L} ^{2},L_{3})$。

• 可积陀螺：拉格朗日、欧拉、柯瓦列夫斯卡娅陀螺是刘维尔可积的。

另见

• 弗罗贝尼乌斯定理
• 可积系统