一阶偏微分方程 是只和未知數的一階導數有關的偏微分方程 ，其型式如下
F
(
x
1
,
…
,
x
n
,
u
,
u
x
1
,
…
u
x
n
)
=
0.
{\displaystyle F(x_{1},\ldots ,x_{n},u,u_{x_{1}},\ldots u_{x_{n}})=0.\,}
以下的應用會用到一阶偏微分方程：建構双曲型偏微分方程 的特徵曲面、变分法 、一些幾何問題，以及一些解有用到特征线法 的氣體動力學簡單模型。若可以找到一阶偏微分方程的解族，可以透過建立解族的包絡線來找到其他的解。
一阶偏微分方程的通解是指其中包括待定常數的解。若一阶偏微分方程中的待定常數和自變數一樣多，此解則稱為全積分（complete integral）。以下有n個參數的解族
u
=
ϕ
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
,
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
)
{\displaystyle u=\phi (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})}
若滿足
det
|
ϕ
x
i
a
j
|
≠
0
{\displaystyle {\text{det}}|\phi _{x_{i}a_{j}}|\neq 0}
[ 1]
波方程 本身是二階偏微分方程，而其特徵曲面為滿足以下方程的等值曲面
u
t
2
=
c
2
(
u
x
2
+
u
y
2
+
u
z
2
)
.
{\displaystyle u_{t}^{2}=c^{2}\left(u_{x}^{2}+u_{y}^{2}+u_{z}^{2}\right).\,}
若令
u
t
=
1
{\displaystyle u_{t}=1}
u 滿足
u
x
2
+
u
y
2
+
u
z
2
=
1
c
2
.
{\displaystyle u_{x}^{2}+u_{y}^{2}+u_{z}^{2}={\frac {1}{c^{2}}}.\,}
用方量的表示方式，令
x
→
=
(
x
,
y
,
z
)
and
p
→
=
(
u
x
,
u
y
,
u
z
)
.
{\displaystyle {\vec {x}}=(x,y,z)\quad {\hbox{and}}\quad {\vec {p}}=(u_{x},u_{y},u_{z}).\,}
解族的特徵曲面可以表示為
u
(
x
→
)
=
p
→
⋅
(
x
→
−
x
0
→
)
,
{\displaystyle u({\vec {x}})={\vec {p}}\cdot ({\vec {x}}-{\vec {x_{0}}}),\,}
其中
|
p
→
|
=
1
c
,
and
x
0
→
is arbitrary
.
{\displaystyle |{\vec {p}}\,|={\frac {1}{c}},\quad {\text{and}}\quad {\vec {x_{0}}}\quad {\text{is arbitrary}}.\,}
若x 和x 0 不變，此解的包絡線可以由找到半徑1/c 圓球上的點，且u 值為定值的點來求得。若
p
→
{\displaystyle {\vec {p}}}
x
→
−
x
0
→
{\displaystyle {\vec {x}}-{\vec {x_{0}}}}
u
(
x
→
)
=
±
1
c
|
x
→
−
x
0
→
|
.
{\displaystyle u({\vec {x}})=\pm {\frac {1}{c}}|{\vec {x}}-{\vec {x_{0}}}\,|.}
這個解對應一個半徑會以速度c 膨脹或是收縮的圓球。這也是在時空下的光錐。
此方程的初值問題會包括給定t =0 時，u =0 的等值曲面S 。這可以由找到所有中心在S 上，半徑以速度c 膨脹或是收縮的圓球包絡面來求得。包絡面可以由下式求得
1
c
|
x
→
−
x
0
→
|
is stationary for
x
0
→
∈
S
.
{\displaystyle {\frac {1}{c}}|{\vec {x}}-{\vec {x_{0}}}\,|\quad {\hbox{is stationary for}}\quad {\vec {x_{0}}}\in S.\,}
若
|
x
→
−
x
0
→
|
{\displaystyle |{\vec {x}}-{\vec {x_{0}}}\,|}
S 垂直，上式就會成立，因此包絡線對應和S 垂直，速度為c 的運動，這也就是Huygens波前建立法：S 上的每一點在t =0時發射一個球狀波，較晚時間t 的波前就是這些球狀波的包絡線。S 的法向量即為光線。
^ P.R. Garabedian, "Partial differential equations" , Wiley (1964)
R. Courant]and D. Hilbert, Methods of Mathematical Physics, Vol II , Wiley (Interscience), New York, 1962.
L.C. Evans, Partial Differential Equations , American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2
A. D. Polyanin, V. F. Zaitsev, and A. Moussiaux, Handbook of First Order Partial Differential Equations , Taylor & Francis, London, 2002. ISBN 0-415-27267-X
A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists , Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9
Sarra, Scott The Method of Characteristics with applications to Conservation Laws , Journal of Online Mathematics and its Applications, 2003. 
