YBC 7289

YBC 7289

YBC 7289是一片古巴比倫黏土板，其上以六十進制記載了單位正方形的對角線長${\sqrt {2}}$的準確估計值，所以備受關注。這個六十進制近似數換算成十進制相當於估算${\sqrt {2}}$到六位有效數字，這個近似數被稱為「古典世界中...目前已知估算精度最高的近似數」。 這片黏土板據信是一位南美索不達米亞地區的學生的作品，作成的時間大概在公元前18世紀到公元前17世紀，被J·P·摩根連同其它一些古巴比倫黏土板捐給耶魯大學收藏，「YBC」是收納這件文物的耶魯-巴比倫典藏庫（英語：Yale Babylonian Collection）的名字縮寫，「7289」是這件文物在其中的編號。

內容

黏土板上記有一個畫著其兩條對角線的正方形，正方形的一側被標上了六十進制數字「30」，對角線被標上兩個六十進制數字：

1. 第一個六十進制數${\textstyle 1;24,51,10}$，轉換為十進制表示是${\textstyle 1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}={\frac {305470}{216000}}\approx 1.414213}$，這個數的估算誤差小於兩百萬分之一；
2. 第二個六十進制數是${\textstyle 42;25,35}$，即十進制的${\textstyle 42+{\frac {25}{60}}+{\frac {35}{60^{2}}}=42.426}$。這個數是上一給定數乘以30的積，即是對邊長為30的正方形的對角線長的估算。

因為巴比倫的六十進制計數法在進位方面並不明確，另一種解釋是方形邊長是${\textstyle {\frac {30}{60}}={\frac {1}{2}}}$。這麼解釋的話，對角線上的數是${\textstyle {\frac {30547}{43200}}=0.70711}$，即${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}}$的近似估計值，估計的誤差也比二百萬分一還小。

大衛·福勒和埃莉諾·羅賓遜如此寫道，「這樣我們就有了一個藉幾何解釋的倒數對（英語：a reciprocal pair of numbers）...」。他們指出，儘管這種解釋在和倒數的關鍵性聯繫起來後，很吸引人，但仍應謹慎對待這一說法。

黏土板反面被部分抹掉了，但羅賓遜認為它記載了類似的題目，題目有關一個邊長和對角線長為畢氏三元數$(3,4,5)$的矩形。

呈現形式

儘管YBC 7289經常以沿著對角線的方向示人 ，巴比倫人畫正方形時約定俗成，各邊水平豎直繪製，帶有數字的邊在圖頂部。這塊小黏土板渾圓的形狀和上面的大字體具有演算草稿的特徵，這種泥板特徵很典型，是被用來協助演算困難問題的，學生在使用時可握於掌中。

這名學生好像是從另一塊黏土板上抄來了${\sqrt {2}}$的六十進制值，但這個逐步的演算過程見於另一塊巴比倫黏土板BM 96957 + VAT 6598上。

在1945年，奧托·紐格伯爾和亞伯拉罕·薩克斯最早發現泥板的數學意義。「這塊泥板呈現給我們古典時代全世界最高的計算精度」，精度相當於六位十進制有效數字。其它黏土板有關於計算六邊形和七邊形面積的，用到了${\sqrt {3}}$這種更複雜的代數數的估算值。這樣精確的一個√3的估計可解釋，古埃及人在建設金字塔時計算各維度的尺寸時為何這麼準確。YBC 7289上所寫的數字精度更高，所以很明確的是上記的各種代數數的近似值是一種尋常計算的結果，而不只是一個估計值。

托勒密在《天文學大成》一書中亦應用了巴比倫人對${\sqrt {2}}$的六十進制$1;24,51,10$估計值。托勒密沒說他的這個值是從哪裡來的，也許這個值當時已經是人盡皆知了。

黏土板的發掘和策展

現在已經無從考證YBC 7289從美索不達米亞的何處而來，但它的形狀和書寫風格像是美索不達米亞南部的，其作成時間作成的時間在公元前18世紀到公元前16世紀間。

1909年，耶魯大學從巴比倫黏土板藏家J·P·摩根處獲捐這些文物，從他宅邸運來的這些遺贈組成了耶魯巴比倫典藏。 耶魯的文化遺產保育學院已經為泥板建立了數字模型，可用於3D列印。

參見

• 普林頓 322