使用者:Arulilipopo/Seifert表面

由一組三不互扣環界定的 Seifert 曲面。

在數學中， Seifert表面（以德國數學家Herbert Seifert命名 ）是一個可定向曲面，其邊界是給定的紐結或連結。

此類表面可用於研究相關紐結或連結的屬性。例如，許多紐結是否相同(紐結同論)可以使用 Seifert 曲面判斷。 Seifert曲面本身也很有趣, 有許多研究圍繞它們展開。

該表面的定義如下: 令L為三維歐幾里得空間（或三維球體）中的馴服可定向結或連結。 由L生成的Seifert表面 S 是一個嵌入在三維空間中的緊湊、連通、可定向曲面，S的邊界為L ，使得L上的選定的方向恰好是S邊界上的方向。

請注意，在此定義下, 三維歐幾里德空間中任何具有非空邊界的緊湊、連通、可定向曲面都是由其邊界產生的Seifert表面。單個紐結或連結可以生成許多不同的不等價 Seifert表面。 Seifert表面必然是可定向的。但是Seifert表面也能與未定向或不可定向的結關聯起來。

例子和反例

Hopf 連結的 Seifert 表面。這是一個環面，並不是莫比烏斯帶。它有兩個半扭轉，因此可以定向。

標準的莫比烏斯帶具有邊界, 其邊界線是平凡結。但因為平凡結不可定向, 所以莫比烏斯帶並不是 Seifert 表面。

通過給三葉結的常用投影進行「棋盤」著色, 我們可以生成具有三個「半扭曲」的莫比烏斯帶表面。因為三葉結不可定向, 所以和之前的例子一樣, 生成的表面並不是 Seifert 表面。

存在性和 Seifert 矩陣

定理: 任何連結總是有一個關聯的 Seifert 表面。

該定理由 Frankl 和列夫·龐特里亞金於 1930 年首次發表 Herbert Seifert於 1934 年發表了一個不同的證明，該證明依賴於現在的 Seifert 算法。該算法可以通過給定的相關結或連結的投影來生成 Seifert 表面 $S$ 。

目前中文維基百科的連結界面尚且缺失, 為了不影響閱讀, 在此簡單地說明一下: 一個連結(link)是由若干個紐結互相纏繞組成的。

假設該連結有m 個組件（對於紐結， m = 1 ），該圖有d 個交叉點，並且解析交叉點（保留結的方向）會產生f個圓。然後是表面$S$由f 個不相交的圓盤通過附加d個帶構造而成。同源群$H_{1}(S)$是有$2g$個生成元的可交換自由群。

$g={\frac {1}{2}}(2+d-f-m)$

是$S$的虧格。$H_{1}(S)$的交叉形式Q是斜對稱的，可以用 2 g 生成元作為基來表示: $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{2g}$, $Q=(Q(a_{i},a_{j}))$. Q等於下面這個矩陣的g 個副本的直和

${\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}$

解析失败 (未知函数“\timtes”): {\displaystyle 2g \timtes 2g } 的Seifert矩陣: $V=(v(i,j))$

其在三維空間中的環繞數 為$v(i,j)$ the in (or in the 3-sphere) of a_i and the "pushoff" of a_j in the positive direction of $S$. More precisely, recalling that Seifert surfaces are bicollared, meaning that we can extend the embedding of $S$ to an embedding of $S\times [-1,1]$, given some representative loop $x$ which is homology generator in the interior of $S$, the positive pushout is $x\times \{1\}$ and the negative pushout is $x\times \{-1\}$.

With this, we have

$V-V^{*}=Q,$

where V^∗ = (v(j, i)) the transpose matrix. Every integer 2g × 2g matrix $V$ with $V-V^{*}=Q$ arises as the Seifert matrix of a knot with genus g Seifert surface.

The Alexander polynomial is computed from the Seifert matrix by $A(t)=\det \left(V-tV^{*}\right),$ which is a polynomial of degree at most 2g in the indeterminate $t.$ The Alexander polynomial is independent of the choice of Seifert surface $S,$ and is an invariant of the knot or link.

The signature of a knot is the signature of the symmetric Seifert matrix $V+V^{\mathrm {T} }.$ It is again an invariant of the knot or link.

結的虧格

Seifert 曲面完全不是唯一的：虧格為 g 的 Seifert 表面S 和相對應的 Seifert 矩陣V 可以通過割補理論進行修改，得到虧格 為 g + 1 的 Seifert 表面S ′和新的Seifert 矩陣:

$V'=V\oplus {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}.$

外部連結

• Jack van Wijk的SeifertView 程序可將使用 塞弗特算法構造的結的塞弗特表面可視化。

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