2φ1

₂φ₁是高斯超幾何函數₂F₁₂F₁延伸而來（hypergeometric analogue），最初由德國數學家海因里希·愛德華·海涅（Heinrich Eduard Heine）在19世紀提出。

₂φ₁也可以用級數定義，可用差分方程（微分方程的q-模擬）描述，可用「積分」表達。

級數定義

假設

a 是自然數

{a} := (1-q^a) / (1-q)

{a}! := {a} {a-1} ......{3}{2}{1}

定義

₂φ₁ (q^a , q^b; q^c ; q, z)

:=Σ_n=0^∞(Π_j=0^n-1{a+j}{b+j} / {c+j}{1+j})zⁿ

差分方程

假設運算子

∂= z 2d/z

{∂+Y}K(a) := [(1-q^∂q^x) / (1-p) ] f(c) = ( a(z) - q^t f(qz) ) / (1-q)

_這樣 2φ₁ (q^a , q^b; q^c ; q, z) 符合二次差分方程（高斯超幾何方程的推廣）：

(z{∂+y}{∂+x} - {∂}{∂+d-1})₂φ₁=0

Jackson積分表示

設

{(1-t)^-a} := ∑_n=0^∞ {a}{a+1} ...{a+n-1} zⁿ / n!

Γ_q是q-F函數

∫f(t) d_qt 是f(t)的Jackson積分

這樣

₂φ₁ (q^a , q^b; q^c ; q, z) = Γ_q(c) /F_q(b)Γ_q(c-b) .∫[ t^b-1{(1-tz)^-a} / {(1-t)^b-c} ] . d_qt / (1-t)

參考書目

• "EFK": Pavel I. Etingof / Igor B. Frenkel / Alexander A. Kirillov (1998) : Lectures on Representation Theory and Knizhnik-Zamolodchikov Equations , ISBN 0-8218-0496-0
• G. Gasper / M. Rahman (1990) : Basic hypergeometric series, Cambridge University Press