1 + 2 + 3 + 4 + …

橫軸為1, 2, 3, 4, ⋯，縱軸為相應於橫軸的級數1 + 2 + 3 + 4 + ⋯之部分和。圖中曲線為平滑後之漸近線，其與縱軸相交的截距值為−¹⁄₁₂

無窮級數中1 + 2 + 3 + 4 + …為所有自然數的和，是一個發散級數，其數學式也寫作 $\sum _{n=1}^{\infty }n$

此級數前 n 項的部分和即是三角形數：

$\sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}$

儘管這個級數的和第一眼看起來不會有任何有意義的值，透過黎曼ζ函數正規化與拉馬努金求和等方法可產生一有限值 $-{\frac {1}{12}}$，表示為：

$1+2+3+4+\cdots =-{\frac {1}{12}}$

此結果在複分析、量子力學及弦理論等領域中有所應用。

部分和公式的證明

主條目：三角形數

前六個三角形數

海什木（Alhazen）的正整數和公式推導

自然數從 1 加到 n 的和是 ${\frac {n(n+1)}{2}}$ 能用許多方法證明。首先令

$S_{n}=1+2+3+4+\cdots +(n-2)+(n-1)+n.\,$

我們將這些項重排反著寫：

$S_{n}=n+(n-1)+(n-2)+\cdots +4+3+2+1.\,$

將兩者相加，對應項相加，我們得到

$2S_{n}=\underbrace {(n+1)+[(n-1)+2]+[(n-2)+3]+\cdots +[3+(n-2)]+[2+(n-1)]+(1+n)} _{n},$

$2S_{n}=\underbrace {(n+1)+(n+1)+(n+1)+\cdots +(n+1)+(n+1)+(n+1)} _{n},$

$2S_{n}=n\cdot (n+1),$

$S_{n}={\frac {n(n+1)}{2}}.$

ζ函數的求和與解析連續性

當 s 的實部大於 1，s 次方的黎曼ζ函數等於求和 $\sum _{n=1}^{\infty }{n^{-s}}$。當 s 的實部小於或等於 1 時和式發散，但當 s = −1 時 由 ζ(s) 的解析延拓給出 ζ(−1) 為 $-{\frac {1}{12}}$。

1 + 2 + 3 + 4 + … 的和不存在，但拉馬努金另外給其定義，其拉馬努金求和的結果為 $-{\frac {1}{12}}$。

物理

在玻色弦理論中，我們想算出一個弦的可能的能量級，特別是最低能量級。非正式地說，每一個弦的諧波可以視為一組 $D$ 無關量子諧振子，這裡 $D$ 是時空的維數。如果基本振子頻率是 $\omega$ 則一個振子對 $n$ 級諧波的貢獻是 ${\frac {n\hbar \omega }{2}}$。所以利用發散級數我們發現在所有諧波上求和是 $-{\frac {\hbar \omega (D-2)}{24}}$。最後這確實是正確的，與Goddard–Thorn theorem一起，導致波色弦理論在維數不為 26 時是不一致的。

一個類似的計算是計算卡西米爾力。

歷史

在拉馬努金寫給戈弗雷·哈羅德·哈代的第二封信中（日期為1913年2月27日）：

「親愛的先生，我很感激地讀到你1913年2月8日的信。我等待您的答覆，類似於一個倫敦的數學教授寫信要我仔細研究布羅米奇的「無窮級數」而不要陷入發散級數的陷阱。……我告訴他，在我的理論中一個無窮數列 $1+2+3+4+\cdots =-{\frac {1}{12}}$。如果我告訴你這個，你肯定會勸我進精神病收容院。我向你細說此事只是使你相信，如果我暗示我只在一封信中所寫的行數，你不可能找出我證明的方法。」

引用

• Berndt, Bruce C., Srinivasa Ramanujan Aiyangar, and Robert A. Rankin. Ramanujan: letters and commentary. American Mathematical Society. 1995. ISBN 0-8218-0287-9. 
• Hardy, G.H. Divergent Series. Clarendon Press. 1949. LCC QA295 .H29 1967. 

延伸閱讀

• Lepowsky, James. Vertex operator algebras and the zeta function. Contemporary Mathematics. 1999, 248: 327–340 [2008-12-13]. （原始內容存檔於2018-12-01）. 
• Zee, A. Quantum field theory in a nutshell. Princeton UP. 2003. ISBN 0-691-01019-6.  See pp. 65–6 on the Casimir effect.
• Zwiebach, Barton. A First Course in String Theory. Cambridge UP. 2004. ISBN 0-521-83143-1.  See p. 293.

外部連結

• 數學物理每周發現（124周）（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館），（126周）（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館），（147周）（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• 歐拉對 1 + 2 + 3 + · · · = −¹⁄₁₂ 的證明
• 所有自然數的和等於負十二分之一視頻（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）