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1-形式

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在三維歐幾里得空間裡,1-形式 αβ 與它們的和是線性泛函,向量 uvw也是線性泛函。任意向量穿插過的任意1-形式超平面等於兩者的內積[1]

線性代數中,1-形式one-form)是向量空間上的一種線性泛函。1-形式在這種向量空間語境中的使用方式,通常區別於高階的多重線性泛函中的1-形式。細節參見線性泛函

微分幾何中,可微流形上的1-形式是餘切叢的一個光滑截面。具體說來,流形 M 上的1-形式是M切叢全空間R 的一個光滑映射,限制在每個纖維上是切空間上的線性泛函。用符號表示,

這裡 αx 是線性的。

1-形式經常局部地描述,特別是在一個局部坐標中。在一個局部坐標系中,1-形式是坐標的微分的線性組合:

這裡 fi 是光滑函數。注意這裡使用上指標,不要與冪混淆。從這種觀點來看,一個 1-形式從一個坐標系變到另一個時有共變變換法則。從而一個 1-形式是秩 1 共變張量場

特例

爲一開集(譬如一個區間 ),考慮可微函數 ,具有導數 f'f微分 df,在一點 ,定義為變量 dx 的某個線性映射。具體地,。(從而符號 dx 的含義揭示出來了:它不過是 df 的一個參數,或獨立變量。)故映射 將每個點 x 送到一個線性泛函 。這是微分(1-)形式最簡單的例子。

德拉姆復形表示,從 0-形式(數量函數)到 1-形式有一個映射,即

一個 1-形式稱為 1-形式如果它是可微的且它的外導數在任何地方等於 0。

另見

參考文獻

  1. ^ J.A. Wheeler; C. Misner; K.S. Thorne. Gravitation. W.H. Freeman & Co. 1973: 57. ISBN 0-7167-0344-0.