龐特里亞金對偶性

2進整數相互關係圖示，它們是龐特里亞金對偶性群的元素。

數學中，特別是在調和分析與拓撲群的理論中，龐特里雅金對偶定理是局部緊阿貝爾群之間的對偶，解釋了傅立葉變換的一般性質。它統合了實數線上或有限阿貝爾群上的一些結果，如：

• 實數線上夠「好」的複數值週期函數能表成傅立葉級數，反之也能從傅立葉級數推出原函數。
• 實數線上夠「好」的複數值函數有傅立葉變換；一如週期函數，在此也能從其傅立葉變換反推出原函數。
• 有限阿貝爾群上的複數值函數有離散傅立葉變換，這是在對偶群上的函數。此外，也從離散傅立葉變換反推原函數。

局部緊阿貝爾群如圓群（模1複數的乘法群）、有限阿貝爾群（具有離散拓撲）、整數的加法群（具有離散拓撲）、實數，以及在實數或P進數域上的有限維向量空間。龐特里亞金對偶將傅立葉轉換推廣到所有此類群。局部緊阿貝爾群的龐特里亞金對偶是局部緊阿貝爾拓撲群，由群到圓群的連續群同態形成，具有點乘與緊集上均勻收斂的拓撲。龐特里亞金對偶定理指出任何局部緊阿貝爾群與其二階對偶群自然同構，傅立葉轉換是定理的特例。

此理論由龐特里亞金（Lev Pontryagin）首開，並結合了約翰·馮·諾伊曼與安德烈·韋伊的哈爾測度理論，它依賴於局部緊阿貝爾群的對偶群理論。

概述

龐特里亞金對偶性將有關實數線或有限阿貝爾群上函數的一系列觀察置於統一的背景中：

• 實數線上，適當正則的複數值週期函數具有傅立葉級數，反之也能從傅立葉級數中推出原函數；
• 實數線上，適當正則的複數值函數具有傅立葉轉換，結果也是實數線上的函數，且反之也能從傅立葉展開中推出原函數；
• 有限阿貝爾群上的複數值函數具有離散傅立葉轉換，是對偶群上的函數，對偶群是（非規範）同構群。此外，有限阿貝爾群上的任何函數都能從離散傅立葉轉換的結果中推出原函數。

這類似於向量空間的對偶向量空間：有限維向量空間V及其對偶向量空間$V^{*}$不是自然同構的，但其中一個的自同態代數（矩陣代數）同構於另一個的自同態代數的反環：${\text{End}}(V)\cong {{\text{End}}(V^{*})}^{\text{op}},$由轉置。相似地，群G及其對偶群${\widehat {G}}$一般不同構，但其自同態環是彼此的反環：${\text{End}}(G)\cong {\text{End}}({\widehat {G}})^{\text{op}}$。更廣義地看，這不僅僅是自同態代數的同構，而且是範疇的反變等價。

定義

更多資訊：局部緊阿貝爾群

若拓撲群的底拓撲空間是局部緊郝斯多夫空間，則稱其為局部緊群；若拓撲群的底群是阿貝爾群，則稱拓撲群也是阿貝爾的。一個拓撲群$G$被稱作局部緊的，若且唯若其單位元素e有個緊鄰域。明白地說，這代表存在一個包含e的開集$V$，使得它在$G$裡的閉包${\bar {V}}$是緊的。 局部緊阿貝爾群的例子如：

• $\mathbb {R} ^{n}$，配上向量加法。
• 正實數配上乘法。此群透過指數及對數映射同構於$\mathbb {R}$。
• 任意賦以離散拓撲的有限阿貝爾群。根據有限阿貝爾群的結構定理，任何這樣的群都是循環群的直積。
• 整數$\mathbb {Z}$配上加法，並賦予離散拓撲。
• 圓群$\mathbb {T}$。這是絕對值為一的複數在乘法下構成的群。我們有同構$\mathbb {T} \cong \mathbb {R} /\mathbb {Z}$。
• p進數配上加法及其p進拓撲。

局部緊阿貝爾群G，G的特徵標是一個從$G$到圓群$\mathbb {T}$的連續群同態；特徵標在逐點乘法下構成一個群，一個特徵標的反元素是它的複共軛。可證明所有$G$上的特徵標在緊緻開拓撲（即：以緊集上的一致收斂定義收歛性）下構成一個局部緊緻阿貝爾群，稱作對偶群，記為${\widehat {G}}$或$G^{\wedge }$。即 $${\widehat {G}}:=\operatorname {Hom} (G,T).$$ 龐特里亞金對偶${\widehat {G}}$通常被賦予緊集上均勻收斂給出的拓撲（即所有從G到T的連續函數空間上的緊開拓撲誘導的拓撲）。

例如，$${\widehat {\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }}=\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ,\ {\widehat {\mathbb {Z} }}=T,\ {\widehat {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} ,\ {\widehat {T}}=\mathbb {Z} .$$ 若$G$可分，則${\hat {G}}$可度量化，對一般的$G$則不盡然。

龐特里亞金對偶定理

定理 — 局部緊阿貝爾群G及其二階對偶${\widehat {\widehat {G}}}$之間，存在規範同構$G\cong {\widehat {\widehat {G}}}$。

在此，「自然」或「典範」同構意謂一個「自然地」定義的映射$G\rightarrow G^{\wedge \wedge }$，要點是它在範疇中滿足函子性（詳見條目範疇論）。舉例明之：任何有限阿貝爾群都同構於其對偶群，但並不存在典範同構。$x\in G$上的自然同構定義如下：

$$x\mapsto \{\chi \mapsto \chi (x)\}{\mbox{ i.e. }}x(\chi ):=\chi (x)$$。即$$\operatorname {ev} _{G}(x):(\chi \mapsto \chi (x)).$$

換言之，我們藉著將一個元素$x\in G$在每個$G$的特徵上求值，得到一個${\hat {G}}$上的特徵。也就是說，群元素x與對偶上的求值特徵（evaluation character）相等。這可用線性代數中的對偶空間來類比，就像一個佈於$K$的向量空間$V$有對偶空間$\mathrm {Hom} (V,K)$，對偶群可看成$\mathrm {Hom} (G,\mathbb {T} )$。更抽象的說，這兩者都是可表函子，被$K$及$\mathbb {T}$所表示。若G是有限阿貝爾群，則$G\cong {\widehat {G}}$，但這種同構並不規範。精確表述一般要考慮群的對偶，還要考慮群之間的映射，以將對偶當做函子，證明恆等函子與對偶函子不自然等價。對偶定理還意味著，對任何群（不一定是有限群），對偶函子是正合函子。

龐特里亞金對偶性與傅立葉轉換

哈爾測度

主條目：哈爾測度

局部緊群$G$最值得注意的性質之一是它帶有一個唯一的自然測度，稱作哈爾測度，這使得我們可以一致地為$G$中「夠好」的子集測量大小；在此「夠好」的明確意義是鮑萊耳集，即由緊集生成的σ-代數中的一個元素。更明確地說，局部緊群$G$的一個右哈爾測度是定義在G的鮑萊耳集上的可數可加度量μ，對於G的元素x和G的鮑萊耳子集A而言，$\mu (Ax)=\mu (A)$是右不變的；此測度尚須滿足一些正則性（詳見主條目哈爾測度）。任兩個右不變哈爾測度至多差一個正的比例常數。準此要領，亦可定義左不變哈爾測度，當$G$是阿貝爾群時兩者符應。

此測度讓我們得以定義$G$上的（複數值）鮑萊耳函數的積分，特別是可以考慮相關的$L^{p}$空間： $${\mathcal {L}}_{\mu }^{p}(G)=\left\{(f:G\to \mathbb {C} )\ {\Big |}\ \int _{G}|f(x)|^{p}\ d\mu (x)<\infty \right\}.$$

注意，由於G上任意兩哈爾測度都僅相差一個縮放因子，所以這個$L^{p}$-空間與哈爾測度的選擇無關，可以寫作$L^{p}(G)$。然而，空間上的$L^{p}$-範數取決於哈爾測度的選擇，因此若要討論等距，就必須跟蹤所使用的哈爾測度。

例子

在整數對加法形成的無窮循環群$\mathbb {Z}$ （配上離散拓撲）上，設χ為一特徵，則$\chi (n)=\chi (1)^{n}$，因此χ決定於χ(1)的值；反之，給定一個$\alpha \in \mathbb {T}$，必存在特徵χ使得χ(1)=α，由此得到群同構$\mathbb {Z} ^{\wedge }{\stackrel {\sim }{\rightarrow }}\mathbb {T}$。此外也容易驗證$\mathbb {Z} ^{\wedge }$上的緊-開拓撲對應到$\mathbb {T}$誘導自$\mathbb {C}$的拓撲。

因此，$\mathbb {Z}$的對偶群自然地同構於$\mathbb {T}$。

反之，$\mathbb {T}$上的特徵皆形如$z\mapsto z^{n}$，其中n是整數。由於$\mathbb {T}$是緊的，其對偶群上的拓撲由一致收斂性給出，對應的不外是$\mathbb {Z}$上的離散拓撲。因此$\mathbb {T}$的對偶群自然地同構於$\mathbb {Z}$。

實數對加法構成的群$\mathbb {R}$同構於自身的對偶群；$\mathbb {R}$上的特徵皆形如$r\mapsto e^{ir}$，其中r是實數。藉著這些對偶性，下節描述的傅立葉變換將符應於$\mathbb {R}$上的古典版本。

L¹-函數的傅立葉轉換和傅立葉反轉換

局部緊阿貝爾群的對偶群被用作傅立葉轉換的底空間（即轉換的值域）。設$f\in L^{1}(G)$，則傅立葉轉換就是${\widehat {G}}$上的函數${\widehat {f}}$，定義為

$${\widehat {f}}(\chi )=\int _{G}f(x){\overline {\chi (x)}}\ d\mu (x),$$ 其中積分是對於G上的哈爾測度$\mu$，這也記作$({\mathcal {F}}f)(\chi )$。注意傅立葉轉換取決於哈爾測度的選擇。不難證明，${\widehat {f}}$是${\widehat {G}}$上的有界連續函數，在無窮遠處趨近於零。

$L^{1}$-函數的傅立葉反轉換公式 — 對於G上的每個哈爾測度$\mu$，${\widehat {G}}$上都有唯一的哈爾測度$\nu$，使得當$f\in L^{1}(G),\ {\widehat {f}}\in L^{1}\left({\widehat {G}}\right)$時，有$$f(x)=\int _{\widehat {G}}{\widehat {f}}(\chi )\chi (x)\ d\nu (\chi )\qquad \mu {\text{-几乎处处}}$$ 若f是連續的，則此特性對所有x都成立。

${\widehat {G}}$上可積函數的傅立葉反轉換由下式給出 $${\check {g}}(x)=\int _{\widehat {G}}g(\chi )\chi (x)\ d\nu (\chi ),$$ 其中積分是對於對偶群${\widehat {G}}$上的哈爾測度$\nu$。傅立葉反轉換公式中所見${\widehat {G}}$上的測度$\nu$稱作$\mu$的對偶測度，可記作${\widehat {\mu }}$

各種傅立葉轉換可按其域和轉換域（群與對偶群）分類如下（注意$\mathbb {T}$是圓群）：

轉換	原域G	轉換域${\hat {G}}$	測度$\mu$
傅立葉轉換	$\mathbb {R}$	$\mathbb {R}$	常數$\times$勒貝格測度
傅立葉級數	$\mathbb {T}$	$\mathbb {Z}$	常數$\times$勒貝格測度
離散時間傅立葉轉換 (DTFT)	$\mathbb {Z}$	$\mathbb {T}$	常數$\times$計數測度
離散傅立葉轉換 (DFT)	$\mathbb {Z} _{n}$	$\mathbb {Z} _{n}$	常數$\times$計數測度

例如，設$G=\mathbb {R} ^{n}$，就可以通過配對$(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )\mapsto e^{i\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} }$將${\widehat {G}}$想像成$\mathbb {R} ^{n}$。若$\mu$是歐氏空間上的勒貝格測度，就可得到$\mathbb {R} ^{n}$上的普通傅立葉轉換，反轉換所需的對偶測度則是${\widehat {\mu }}=(2\pi )^{-n}\mu$。若要得到兩側測度相同的傅立葉反轉換公式（即，既然可以將$\mathbb {R} ^{n}$視作自身的對偶空間，也可以設${\widehat {\mu }}=\mu$），則需要用

$${\begin{aligned}\mu &=(2\pi )^{-{\frac {n}{2}}}\times {\text{Lebesgue measure}}\\{\widehat {\mu }}&=(2\pi )^{-{\frac {n}{2}}}\times {\text{Lebesgue measure}}\end{aligned}}$$

然而，若把$\mathbb {R} ^{n}$與其對偶群相等的判斷方法改為配對 $$(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )\mapsto e^{2\pi i\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} },$$ 則$\mathbb {R} ^{n}$上的勒貝格測度等於其自身的對偶測度。計算歐氏空間上的傅立葉轉換或傅立葉反轉換時，這個約定可最大限度地減少各處出現的$2\pi$數量（實際上，它將$2\pi$僅限制在指數上，而非作為積分符號之外的預因子）。注意，如何確定$\mathbb {R} ^{n}$等於其對偶群會影響「自對偶函數」的含義，其是$\mathbb {R} ^{n}$上等同於自身的傅立葉轉換的函數：使用經典配對$(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )\mapsto e^{i\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} }$，函數$e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}$是自對偶的。但配對可以保持預因子統一，$(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )\mapsto e^{2\pi i\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} }$使得$e^{-\pi x^{2}}$自對偶。這傅立葉轉換的第二個定義的優點在於，它將乘法單位元素映射為摺積單位元素，由於$L^{1}$是摺積代數，這一點非常有用。另外，此形式在$L^{2}$空間上也必等距。

群代數

主條目：局部緊群的群代數

局部緊阿貝爾群$G$上的可積函數構成一個代數，其乘法是摺積：設$f,g\in L^{1}(G)$，則摺積定義為

$[f\star g](x)=\int _{G}f(x-y)g(y)\,d\mu (y)$。

定理 — 巴拿赫空間$L^{1}(G)$在摺積下構成一個交換結合代數。

此代數稱作$G$的群代數。根據富比尼-托內利定理，摺積對$L^{1}$範數是次乘法，因此$L^{1}(G)$是個巴拿赫代數。巴拿赫代數$L^{1}(G)$一般沒有乘法單位元素，除非$G$離散，即在單位元素處為1、他處為0的函數。但它有個近似單位元素，這是個網，以一有向集$I$為索引，寫作$(e_{i})_{i\in I}$並滿足$f\star e_{i}\rightarrow f$。

傅立葉變換將摺積映至逐點乘法，即它是（範數≤ 1的）阿貝爾巴拿赫代數的同態$L^{1}(G)\to C_{0}\left({\widehat {G}}\right)$：

$${\mathcal {F}}(f\star g)(\chi )={\mathcal {F}}(f)(\chi )\cdot {\mathcal {F}}(g)(\chi )$$。 特別是，$G$上的任意特徵χ，都可在群代數上確定唯一的積性線性泛函 $$f\mapsto {\widehat {f}}(\chi )$$。

群代數的重要性質之一，在於這些線性泛函窮竭了群代數上所有非平凡（即：非恆零）的積性線性泛函。見文獻中Loomis著作的第34節。這意味著傅立葉轉換是蓋爾范德轉換的特例。

普朗歇爾暨L²傅立葉反轉定理

如前所述，一個局部緊阿貝爾群$G$的對偶群依然是局部緊阿貝爾群，因而帶有一族哈爾測度，彼此至多差一個比例常數。

定理 — 擇G上的哈爾測度$\mu$，並令$\nu$是${\widehat {G}}$上的對偶測度（定義如上）。若$f:G\to \mathbb {C}$是具有緊支的連續函數，則${\widehat {f}}\in L^{2}\left({\widehat {G}}\right)$，且 $$\int _{G}|f(x)|^{2}\ d\mu (x)=\int _{\widehat {G}}\left|{\widehat {f}}(\chi )\right|^{2}\ d\nu (\chi ).$$ 特別地，傅立葉轉換是G上有緊支的複值連續函數到${\widehat {G}}$上的$L^{2}$-函數的$L^{2}$等距映射（對G上的函數使用關於$\mu$的$L^{2}$-範數，對${\widehat {G}}$上的函數使用關於$\nu$的$L^{2}$-範數。

由於G上緊支的複值連續函數是$L^{2}$-稠密的，因此從該空間到么正算符的傅立葉轉換有唯一的擴展

$${\mathcal {F}}:L_{\mu }^{2}(G)\to L_{\nu }^{2}\left({\widehat {G}}\right).$$ 且有 $$\forall f\in L^{2}(G):\quad \int _{G}|f(x)|^{2}\ d\mu (x)=\int _{\widehat {G}}\left|{\widehat {f}}(\chi )\right|^{2}\ d\nu (\chi ).$$

注意，若$G$非緊，$L^{1}(G)$並不包含$L^{2}(G)$，所以G上一般$L^{2}$-函數的傅立葉轉換不由任何積分公式（或任何明確公式）給出。要定義$L^{2}$-函數的傅立葉轉換，就須訴諸一些技巧，例如限制於一個稠密子空間，如具有緊支的連續函數，然後通過連續性將等距性擴展到整個空間。

依循Loomis書中術語，我們稱一對$G$與其對偶群上的哈爾測度$(\mu ,\nu )$是相繫的，若且唯若傅立葉反轉公式成立。傅立葉變換之么正性遂蘊含：對所有$G$上的連續緊支集複數值函數$f$都有

$\int _{G}|f(x)|^{2}\ d\mu (x)=\int _{\widehat {G}}|{\widehat {f}}(\chi )|^{2}\ d\nu (\chi )$

在平方可積函數空間上，我們考慮的傅立葉變換是透過上述么正延拓得到的算子。對偶群本身也有個傅立葉逆變換；它可以刻劃為$L^{2}$傅立葉變換之逆（或其伴隨算子，因為傅立葉變換是么正的），這是以下傅立葉反轉公式的內涵。

定理 — 限制於具有緊支的連續函數的傅立葉轉換的伴隨是反傅立葉轉換 $$L_{\nu }^{2}\left({\widehat {G}}\right)\to L_{\mu }^{2}(G)$$ 其中$\nu$是$\mu$.的對偶測度。

• 在$G=\mathbb {T}$的情形，對偶群${\widehat {G}}$自然同構於整數群$\mathbb {Z}$，傅立葉轉換專門用於計算週期函數的傅立葉級數係數。
• 在$G=\mathbb {R} ^{n}$的情形，我們有${\hat {G}}=\mathbb {R} ^{n}$，若取下述相繫的哈爾測度，則回到傅立葉變換的古典定義：

$$\mu =(2\pi )^{-n/2}\times$$（勒貝格測度） $$\nu =(2\pi )^{-n/2}\times$$（勒貝格測度）

• 在$G=\mathbb {T}$的情形，對偶群${\hat {G}}$自然同構於$\mathbb {Z}$，而上述算子$F$歸於計算週期函數的傅立葉係數。
• 若$G$為有限群，則得到離散傅立葉變換。此情形易直接證明。

玻爾緊化與概週期函數

龐特里亞金對偶定理的重要應用之一是下述關於緊阿貝爾拓撲群的刻劃：

定理 — 局部緊阿貝爾群G，若且唯若對偶群${\widehat {G}}$離散時，G是緊的。反之，若且唯若${\widehat {G}}$的緊的時，G是離散的。

G的緊的，意味著${\widehat {G}}$是離散的或緊的，這是${\widehat {G}}$上緊-開拓撲定義的一個基本結果，不需要龐特里亞金對偶性。我們可以利用龐特里亞金對偶性證明相反情形。

對任何拓撲群，無論局部緊或阿貝爾與否，皆可定義玻爾緊化。利用緊阿貝爾群和離散阿貝爾群之間的龐特里亞金對偶性，可描述任意阿貝爾局部緊拓撲群的玻爾緊化。G的玻爾緊化$B(G)$是${\widehat {H}}$，其中H具有群結構${\widehat {G}}$，但帶離散拓撲。由於下述包含映射 $$\iota :H\to {\widehat {G}}$$ 是個連續同態，其對偶同態 $$G\sim {\widehat {\widehat {G}}}\to {\widehat {H}}$$ 是個映至一個緊群的同態；可以證明它滿足必要的泛性質，因而${\hat {H}}$確為$G$的玻爾緊化。

參見：概週期函數

範疇論觀點

函子的觀點對於研究對偶群是很有用的。以下將以LCA表示所有局部緊阿貝爾群及其間的連續群同態構成之範疇。

對偶群的構造$G\mapsto {\widehat {G}}$給出一個反變函子$\mathbf {LCA} \rightarrow \mathbf {LCA}$，（在可表函子的意義上）由圓群$\mathbb {T}$表為${\widehat {G}}={\text{Hom}}(G,\mathbb {T} )$。其二次迭代$G\mapsto G^{\wedge \wedge }$遂給出協變函子$\mathbf {LCA} \rightarrow \mathbf {LCA}$。

龐特里亞金對偶性的一個範疇論表述是，LCA上的恆等函子與二階對偶函子之間的自然轉換同構。從自然轉換的角度看，這意味著映射$G\to \operatorname {Hom} (\operatorname {Hom} (G,T),T)$對任何局部緊阿貝爾群G都是同構，且它們在G中是函子。此同構可以類比於有限維向量空間的二次對偶（特別是實與複向量空間）。

這種表述的直接結果是龐特里亞金對偶的另一種常見範疇論表述：對偶群函子是$\mathbf {LCA} \rightarrow \mathbf {LCA} ^{\text{op}}$的範疇等價。 龐特里亞金對偶性將離散群與緊群的子範疇交換。若$R$是一個環，而$G$是個左$R$-模，則對偶群${\widehat {G}}$將成為右$R$-模。從對偶性可推知離散左$R$-模與緊右$R$-模對偶。LCA裡的自同態環$\mathrm {End} (G)$依對偶性對應至其反環（即：環的乘法次序交換）。舉例明之：取有限循環離散群$G=\mathbb {Z}$，則${\widehat {G}}=\mathbb {T}$；前者滿足$\mathrm {End} (G)=\mathbb {Z}$，對後者亦然。

推廣

龐特里亞金對偶的推廣有兩個主要方向：非局部緊的交換拓撲群，和非交換拓撲群。這兩種情形的理論截然不同。

交換拓撲群的對偶

若G是郝斯多夫阿貝爾拓撲群，則具有緊-開拓撲的${\widehat {G}}$ 也是郝斯多夫阿貝爾拓撲群，G到二階對偶${\widehat {\widehat {G}}}$的自然映射有意義。若此映射是同構，就可以說G滿足龐特里亞金對偶性（或稱G是$G$反身群（reflexive group）或反射群（reflective group））。除了G為局部緊群的情形，這個問題還在很多方向上得到擴展。

Samuel Kaplan在1948年和1950年證明，局部緊（郝斯多夫）阿貝爾群的任意積和可數反極限滿足龐特里亞金對偶性。注意，局部緊非緊空間的無限積不是局部緊的。

Rangachari Venkataraman (1975)證明，除其他事實外，滿足龐特里亞金對偶性的阿貝爾拓撲群的每個開子群都滿足龐特里亞金對偶性。

最近，Sergio Ardanza-Trevijano和María Jesús Chasco擴展了上述結果，證明只要滿足一些額外條件，滿足龐特里亞金對偶性的阿貝爾群序列的直極限和反極限也滿足龐特里亞金對偶性，條件是群須可度量化，或是$k_{\omega }$-空間，但不必是局部緊的。

但若要考慮局部緊情形之外的龐特里亞金對偶性，就會有根本性的變化。Elena Martín-Peinador (1995)證明，若G是滿足龐特里亞金對偶性的郝斯多夫拓撲群，且自然求值對 $${\begin{cases}G\times {\widehat {G}}\to \mathbb {T} \\(x,\chi )\mapsto \chi (x)\end{cases}}$$ （聯合）連續，則G是局部緊的。有推論，龐特里亞金對偶性的所有非局部緊例子都是配對$G\times {\widehat {G}}\to \mathbb {T}$不（聯合）連續的群。

另一種將對偶性推廣到其他類的交換拓撲群的方法是賦予對偶群${\widehat {G}}$以一點不同的拓撲，即全有界集上的均勻收斂拓撲。在此假設下，滿足等式$G\cong {\widehat {\widehat {G}}}$的群稱作刻板群（stereotype groups）。這類群的範圍很廣（包含局部緊阿貝爾群），但比反射群要窄。

拓撲向量空間的龐特里亞金對偶性

Marianne F. Smith (1952)注意到，巴拿赫空間和自反空間被視作拓撲群（加法為群運算），且滿足龐特里亞金對偶性。之後B. S. Brudovskiĭ、William C. Waterhouse及K. Brauner證明，這一結果可推廣到所有準全桶型空間類（尤其是所有弗雷歇空間）。1990年代，Sergei Akbarov描述了一類拓撲向量空間。滿足比經典龐特里亞金反射更強的性質，即等式 $$(X^{\star })^{\star }\cong X$$ 其中$X^{\star }$表示在X中被賦以全有界集上均勻收斂拓撲的所有線性連續泛函$f\colon X\to \mathbb {C}$的空間（$(X^{\star })^{\star }$是相同意義上$X^{\star }$的對偶）。這類空間稱作刻板空間（stereotype space），相應理論在泛函分析與幾何中得到一系列應用，包括龐特里亞金對偶性在非交換拓撲群中的推廣。

非交換理論

對非交換群$G$沒有類似的理論，因為此時對偶的對象${\hat {G}}$={$G$的不可約表示之同構類}不只有一維表示，因此不構成一個群。同時，G的不可約酉表示集上如何引入懲罰也不清楚，甚至不清楚這個集合是否適合作為G的對偶物件。因此，這種情況下構造對偶性的問題需要徹底重新思考。

迄今建立的理論主要有兩類：一類理論中，對偶物件與原物件具有相同性質（如龐特里亞金對偶理論），一類理論中，對偶物件與原物件存在根本差異，以至於無法將它們視作一類物件。第二類理論出現得更早：在龐特里亞金的研究後不久，淡中忠郎 (1938)和馬克·克林 (1949)構建了任意緊群的對偶論，即現在所謂淡中-克林對偶性。此理論中，群G的對偶物件不是群，而是其表示的範疇$\Pi (G)$。但它缺乏與調和分析的聯繫，因而無法處理關於${\hat {G}}$上的普朗歇爾測度的問題。

有限群的對偶

第一類理論是後來出現的，它們的主要例子是有限群的對偶論。其中，有限群範疇通過（在$\mathbb {C}$上）取群代數$\mathbb {C} _{G}$的運算$G\mapsto \mathbb {C} _{G}$嵌入到有限維霍普夫代數範疇中，這樣龐特里亞金對偶函子$G\mapsto {\widehat {G}}$就變為取對偶向量空間的運算$H\mapsto H^{*}$（這是有限維霍普夫代數範疇中的對偶函子）。

1973年，Leonid I. Vainerman、George I. Kac、Michel Enock、Jean-Marie Schwartz為所有局部緊群構造了這種類型的一般理論。1980年代起，量子群的發現使這一領域的研究復興了，構建的理論開始得到積極的移植。這些理論的用C*-代數或馮諾依曼代數的語言描述的，其變體之一是最近的局部緊量子群理論。

這些一般理論的一個缺點是，推廣群概念的物件不是通常代數意義上的霍普夫代數。這一缺陷可在拓撲代數的包絡為基礎的對偶理論框架內得到糾正（僅對一部分類別的群）。

源流

龐特里亞金在1934年為局部緊阿貝爾群及其對偶性的理論奠下基礎。他的進路須假定群是第二可數的，並且是緊群或離散群。此條件先後由E.R. van Kampen（1935年）與安德魯·韋伊（1953年）改進為局部緊阿貝爾群。

文獻

下列書籍（可在大部分大學圖書館找到）都有局部緊阿貝爾群、對偶定理與傅立葉變換的相關章節。Dixmier的著作有非交換調和分析的材料，也有英譯本。

• Jacques Dixmier, Les C*-algèbres et leurs Représentations, Gauthier-Villars,1969.
• Lynn H. Loomis, An Introduction to Abstract Harmonic Analysis, D. van Nostrand Co, 1953
• Walter Rudin, Fourier Analysis on Groups, 1962
• Hans Reiter, Classical Harmonic Analysis and Locally Compact Groups, 1968（2nd ed produced by Jan D. Stegeman, 2000）。
• Hewitt and Ross, Abstract Harmonic Analysis, vol 1, 1963.

另見

• 彼得-魏爾定理
• 卡地亞對偶性

參考文獻

• Akbarov, S.S. Pontryagin duality in the theory of topological vector spaces and in topological algebra. Journal of Mathematical Sciences. 2003, 113 (2): 179–349. S2CID 115297067. doi:10.1023/A:1020929201133 . 
• Akbarov, Sergei S.; Shavgulidze, Evgeniy T. On two classes of spaces reflexive in the sense of Pontryagin. Matematicheskii Sbornik. 2003, 194 (10): 3–26. 
• Akbarov, Sergei S. Holomorphic functions of exponential type and duality for Stein groups with algebraic connected component of identity. Journal of Mathematical Sciences. 2009, 162 (4): 459–586. S2CID 115153766. arXiv:0806.3205 . doi:10.1007/s10958-009-9646-1. 
• Akbarov, Sergei S. Continuous and smooth envelopes of topological algebras. Part 1. Journal of Mathematical Sciences. 2017a, 227 (5): 531–668. MR 3790317. S2CID 126018582. arXiv:1303.2424 . doi:10.1007/s10958-017-3599-6. 
• Akbarov, Sergei S. Continuous and smooth envelopes of topological algebras. Part 2. Journal of Mathematical Sciences. 2017b, 227 (6): 669–789. MR 3796205. S2CID 128246373. arXiv:1303.2424 . doi:10.1007/s10958-017-3600-4. 
• Brauner, Kalman. Duals of Fréchet spaces and a generalization of the Banach–Dieudonné theorem. Duke Mathematical Journal. 1973, 40 (4): 845–855. doi:10.1215/S0012-7094-73-04078-7. 
• Brudovskiĭ, B. S. On k- and c-reflexivity of locally convex vector spaces. Lithuanian Mathematical Journal. 1967, 7 (1): 17–21. doi:10.15388/LMJ.1967.19927 . 
• Dixmier, Jacques. Les C*-algèbres et leurs Représentations. Gauthier-Villars. 1969. ISBN 978-2-87647-013-2. 
• Enock, Michel; Schwartz, Jean-Marie. Kac Algebras and Duality of Locally Compact Groups. With a preface by Alain Connes. With a postface by Adrian Ocneanu. Berlin: Springer-Verlag. 1992. ISBN 978-3-540-54745-7. MR 1215933. doi:10.1007/978-3-662-02813-1. 
• Hewitt, Edwin; Ross, Kenneth A. Abstract Harmonic Analysis. Vol. I: Structure of topological groups. Integration theory, group representations. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 115. Berlin-Göttingen-Heidelberg: Springer-Verlag. 1963. ISBN 978-0-387-94190-5. MR 0156915. 
• Hewitt, Edwin; Ross, Kenneth A. Abstract Harmonic Analysis 2. Springer. 1970. ISBN 978-3-662-24595-8. MR 0262773. 
• Kirillov, Alexandre A. Elements of the theory of representations. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 220. Berlin, New York: Springer-Verlag. 1976 [1972]. ISBN 978-0-387-07476-4. MR 0412321. 
• Loomis, Lynn H. An Introduction to Abstract Harmonic Analysis. D. van Nostrand Co. 1953. ISBN 978-0486481234. 
• Morris, S.A. Pontryagin duality and the structure of locally compact Abelian groups. Cambridge University Press. 1977. ISBN 978-0521215435. 
• Onishchik, A.L., Pontrjagin duality, Encyclopedia of Mathematics, 1984, 4: 481–482, ISBN 978-1402006098 
• Reiter, Hans. Classical Harmonic Analysis and Locally Compact Groups. Clarendon Press. 1968. ISBN 978-0198511892. 
• Rudin, Walter. Fourier Analysis on Groups. D. van Nostrand Co. 1962. ISBN 978-0471523642. 
• Timmermann, T. An Invitation to Quantum Groups and Duality - From Hopf Algebras to Multiplicative Unitaries and Beyond. EMS Textbooks in Mathematics, European Mathematical Society. 2008. ISBN 978-3-03719-043-2. 
• Kustermans, J.; Vaes, S. Locally Compact Quantum Groups. Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. 2000, 33 (6): 837–934. doi:10.1016/s0012-9593(00)01055-7. 
• Ardanza-Trevijano, Sergio; Chasco, María Jesús. The Pontryagin duality of sequential limits of topological Abelian groups. Journal of Pure and Applied Algebra. 2005, 202 (1–3): 11–21. MR 2163398. doi:10.1016/j.jpaa.2005.02.006. hdl:10171/1586 . 
• Chasco, María Jesús; Dikranjan, Dikran; Martín-Peinador, Elena. A survey on reflexivity of abelian topological groups. Topology and Its Applications. 2012, 159 (9): 2290–2309. MR 2921819. doi:10.1016/j.topol.2012.04.012 . 
• Kaplan, Samuel. Extensions of the Pontrjagin duality. Part I: infinite products. Duke Mathematical Journal. 1948, 15: 649–658. MR 0026999. doi:10.1215/S0012-7094-48-01557-9. 
• Kaplan, Samuel. Extensions of the Pontrjagin duality. Part II: direct and inverse limits. Duke Mathematical Journal. 1950, 17: 419–435. MR 0049906. doi:10.1215/S0012-7094-50-01737-6. 
• Venkataraman, Rangachari. Extensions of Pontryagin Duality. Mathematische Zeitschrift. 1975, 143 (2): 105–112. S2CID 123627326. doi:10.1007/BF01187051. 
• Martín-Peinador, Elena. A reflexible admissible topological group must be locally compact. Proceedings of the American Mathematical Society. 1995, 123 (11): 3563–3566. JSTOR 2161108. doi:10.2307/2161108. hdl:10338.dmlcz/127641 . 
• Roeder, David W. Category theory applied to Pontryagin duality. Pacific Journal of Mathematics. 1974, 52 (2): 519–527. doi:10.2140/pjm.1974.52.519 . 
• Smith, Marianne F. The Pontrjagin duality theorem in linear spaces. Annals of Mathematics. 1952, 56 (2): 248–253. JSTOR 1969798. MR 0049479. doi:10.2307/1969798. 
• Waterhouse, William C. Dual groups of vector spaces. Pacific Journal of Mathematics. 1968, 26 (1): 193–196. doi:10.2140/pjm.1968.26.193 .