麥卡托投影法

麥卡托世界地圖（1569年）

以麥卡托投影法呈現的世界地圖。

麥卡托投影法（英語：Mercator projection），又稱墨卡托投影法、正軸等角圓柱投影，是一種等角的圓柱形地圖投影法。

本投影法得名於法蘭德斯(佛蘭德)出身的地理學家傑拉杜斯·麥卡托，他於1569年發表長202公分、寬124公分以此方式繪製的世界地圖。在以此投影法繪製的地圖上，將地球在平面展開，經緯線於任何位置皆垂直相交，使世界地圖可以繪製在一個長方形，地圖的任一點在各種方向的長度均相等。由於可顯示任兩點間的正確方位，指出真實的經緯度，航海用途的海圖、航路圖大都以此方式繪製。在該投影中線型比例尺在圖中任意一點周圍都保持不變，從而可以保持大陸輪廓投影後的角度和形狀不變（即等角）；但麥卡托投影會使面積產生變形，赤道地區變化最小，南北兩極的變形最大，但因為在南北迴歸線之間影響很少，而這是多數航線所在區域，所以被廣泛用來編製地圖。

數學計算

地圖上縱向方位（圖中的橫軸）和緯度（圖中的縱軸）的關係。

下列公式在使用麥卡托投影的地圖中，從緯度φ和經度λ（其中λ₀是本初子午線）推導為坐標系中的坐標x和y。

這是古德曼函數的逆推導：

${\begin{aligned}x&=\lambda -\lambda _{0}\\y&=\ln \left(\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right)\right)\\&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+\sin(\varphi )}{1-\sin(\varphi )}}\right)\\&=\tanh ^{-1}\left(\sin(\varphi )\right)\\&=\sinh ^{-1}\left(\tan(\varphi )\right)\\&=\ln \left(\tan(\varphi )+\sec(\varphi )\right).\end{aligned}}$

這是古德曼函數：

${\begin{aligned}\varphi &=2\tan ^{-1}(e^{y})-{\frac {\pi }{2}}\\&=\tan ^{-1}(\sinh(y))\\\lambda &=x+\lambda _{0}.\end{aligned}}$

比例尺與緯度φ的正割成比例，越趨向極地（φ = ±90°）面積變形越大。此外，由公式可知，極點處的y值為正負無窮大。

公式推導

麥卡托投影是一種等角投影。

假設地球為正球形。（實際上並非為正球形，而是有扁率的，但製作小比例尺地圖時誤差可忽略不計。若需更精確，可插入等角緯線。）我們需要將經緯度坐標（λ, φ）轉換為笛卡爾坐標(x, y)，求以赤道為基準的切柱面投影（即x = λ），並保持形狀不變，故：

${\frac {\partial x}{\partial \lambda }}=\cos(\varphi ){\frac {\partial y}{\partial \varphi }}$

${\frac {\partial y}{\partial \lambda }}=-\cos(\varphi ){\frac {\partial x}{\partial \varphi }}$

從 x = λ 可知

${\frac {\partial x}{\partial \lambda }}=1$

${\frac {\partial x}{\partial \varphi }}=0$

給出

$1=\cos(\varphi ){\frac {\partial y}{\partial \varphi }}$

$0={\frac {\partial y}{\partial \lambda }}$

因此，y是φ的唯一函數，且可得到$y'=\sec \varphi$，由積分表

$y=\ln(|\sec(\varphi )+\tan(\varphi )|)+C.\,$

在地圖中φ = 0得到y = 0，所以取C = 0.

以麥卡托投影法繪製的地圖。

錯覺

由於麥卡托投影在高緯度過分放大，低緯度又過分縮小，因此會產生有趣的錯覺。比如世界第一大島高緯度的格陵蘭比澳洲看起來還大好幾倍。世界第二大島低緯度的新幾內亞和日本差不多大小。然而新幾內亞島面積足足是日本的2倍。

以下是實際面積（單位：平方公里）

• 澳洲：7,692,024平方公里
• 格陵蘭：2,166,086平方公里
• 日本：378,000平方公里
• 新幾內亞島：786,000平方公里

參見

• 地圖學
• 地圖投影
• 摩爾維特投影
• 海圖
• 羅賓森投影
• 橫軸麥卡托投影
• 通用橫軸麥卡托投影（UTM）
• 高爾-彼得斯投影
• 南上北下地圖
• 斜軸麥卡托投影
• Web麥卡托投影

參考資料

• Snyder, John P. Map Projections - A Working Manual. U.S. Geological Survey Professional Paper 1395. United States Government Printing Office, Washington, D.C. 1987. 可至USGS pages下載。
• Monmonier, Mark. Rhumb Lines and Map Wars. Chicago: The University of Chicago Press. 2004. 
• Needham, Joseph (1986). Science and Civilization in China: Volume 3; Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth. Taipei: Caves Books Ltd.
• Needham, Joseph (1986). Science and Civilization in China: Volume 4, Physics and Physical Technology, Part 3, Civil Engineering and Nautics. Taipei: Caves Books Ltd.

• A Look at the Mercator Projection https://www.gislounge.com/look-mercator-projection/（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）