非阿貝爾代數拓撲
非阿貝爾代數拓撲是代數拓撲的一個分支，主要研究不可交換的高維代數。
許多高維代數結構都不可交換，因此對它們的研究是非阿貝爾範疇論與非阿貝爾代數拓撲（NAAT）的重要組成部分，[1]它們將來自基本群的概念推廣到高維。[2]這種多維代數結構發展了基本群的非阿貝爾性質，在更精確的意義上，它們「比群更不阿貝爾」。[1][3]這些不可交換結構，或更具體地說，非阿貝爾結構要比經典代數拓撲中常見的已知同調、同倫群更準確地反映高維的集合複雜性。
非阿貝爾代數拓撲的一個重要部分詳細探討了同調群和過濾空間。不可交換雙廣群和雙李代數胚是這種非阿貝爾高維結構的第一個例子。非阿貝爾代數拓撲的新方法「能用於確定空間的同倫常量，以及映射的同倫分類，並允許使用經典方法無法獲得的結果。」立體omega廣群、高維同倫廣群、交叉模、交叉複合體及伽羅瓦廣群是發展與過濾空間同倫、高維空間結構、基本拓撲理論中拓撲斯E的基本廣群、非阿貝爾量子理論、量子引力、拓撲熱力學相關的應用的關鍵概念。[4]這種應用的例子還有如通過基本雙廣群和時空結構對非交換標準模型進行非交換幾何形式化概括，甚至比一些拓撲量子場論和量子引力的非交換幾何理論中提出的的拓撲斯或低維非交換時空要更基本。
NAAT的一個基本結果是由. Brown證明的廣義高同倫塞弗特-范坎彭定理，其指出「一個拓撲空間的同倫類可用其片斷的同倫類上合適的並極限或同倫並極限來計算」。相關的例子是塞弗特-范坎彭定理對於廣義範疇中包覆態射（Covering Morphism）的描述。[5]其他關於塞弗特-范坎彭定理的泛化的研究也對2-範疇[6]和拓撲斯的拓撲斯進行了研究[1] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）。
高維代數的重要結果也是伽羅瓦理論在範疇與可變範疇（或「參數化」範疇）上的推廣。[7]對於拓撲斯的Joyal–Tierney代表定理也是伽羅瓦理論的一種推廣。[8]
因此，在Benabou的意義上，通過二範疇的索引，這裡便也可以包括Joyal–Tierney定理。[9]
參考文獻
- Brown, Ronald (Bangor University, UK); Higgins, Philip J. (Durham University, UK); Sivera, Rafael (University of Valencia, Spain). Non-Abelian Algebraic Topology: filtered spaces, crossed complexes, cubical homotopy groupoids. Tracts in Mathematics 15. European Mathematical Society. 2010: 670. ISBN 978-3-03719-083-8.[1]
注釋
- ^ 1.0 1.1 1.2 * Presentation. Bangor University, UK. （原始內容存檔於2009-06-04）. downloadable (PDF). （原始內容 (PDF)存檔於2007-07-09）.
- ^ https://arxiv.org/abs/math/0407275 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） Nonabelian Algebraic Topology by Ronald Brown. 15 Jul 2004
- ^ http://golem.ph.utexas.edu/category/2009/06/nonabelian_algebraic_topology.html （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） Nonabelian Algebraic Topology posted by John Baez
- ^ Baianu, I. C. A Non-Abelian, Categorical Ontology of Spacetimes and Quantum Gravity. Axiomathes. 2007, 17 (3–4): 353–408. S2CID 3909409. doi:10.1007/s10516-007-9012-1.
- ^ Ronald Brown and George Janelidze, van Kampen theorems for categories of covering morphisms in lextensive categories, J. Pure Appl. Algebra. 119:255–263, (1997)
- ^ https://web.archive.org/web/20050720094804/http://www.maths.usyd.edu.au/u/stevel/papers/vkt.ps.gz Marta Bunge and Stephen Lack. Van Kampen theorems for 2-categories and toposes
- ^ Janelidze, George. Galois theory in variable categories. Applied Categorical Structures. 1993, 1: 103–110. S2CID 22258886. doi:10.1007/BF00872989.
- ^ Joyal, André; Tierney, Myles. An extension of the Galois theory of Grothendieck 309. American Mathematical Society. 1984. ISBN 978-0-8218-2312-5.
- ^ MSC(1991): 18D30,11R32,18D35,18D05