雞爪定理

歐氏幾何中，雞爪定理（或內心/旁心引理，英語：incenter/excenter lemma）描述三角形的頂點、內心、旁心、外接圓的位置關係。其斷言，三角形某頂點$B$所對的旁心$I_{B}$、另兩個頂點$A$、$C$、內心$I$四點共圓，且其圓心（$II_{B}$中點）位於三角形的外接圓$\odot ABC$上。此定理的構形常於奧數幾何題出現。

敍述

雞爪定理：三條紅色線段等長

設$\triangle ABC$為任意三角形，$I$為其內心，$\angle ABC$的角平分線$BI$交外接圓$\odot ABC$於$D$。定理斷言，$D$到$A,C,I$三點等遠，即$DA=DC=DI$。

等價的說法有：

• 過$A,C,I$三點的圓，圓心位於$D$。這尤其說明該圓的圓心在於原三角形的外接圓上。
• 諸三角形$AID,CID,ACD$皆為等腰，$D$為其頂角。

還有第四點$I_{B}$也到$D$等遠，就是$B$所對的旁心。在以$D$為圓心的圓上，$I_{B}$與$I$互為對徑點，即$D$為$II_{B}$的中點。

證明

由於同弧所對的圓周角相等，有

$\angle IBA=\angle DCA,\quad \angle IBC=\angle DAC.$

又$BI$為角$B$的平分線，有

$\angle DCA=\angle DAC,$

故$DA=DC$得證（等圓周角對等弦）。

最後計角有：

${\begin{aligned}\angle DIA={}&180^{\circ }-\angle AIB\\={}&\angle IAB+\angle IBA\\={}&\angle IAC+\angle DAC\\={}&\angle IAD.\\\end{aligned}}$

所以三角形$DIA$有兩底角相等，證畢$DA=DI$。

應用於求作三角形

定理適用於解決以下問題：已知某三角形的一個頂點$B$、內心$I$和外心$O$，求作該三角形。作法如下：

1. 以$O$為圓心，$OB$為半徑，作圓。此為三角形的外接圓。
2. 作直線$BI$，與外接圓交於（$B$以外的另一點）$D$。
3. 以$D$為圓心，$DI$為半徑作圓，定理保證所得的圓過另兩個頂點$A,C$。
4. 所以，該圓與外接圓的交點$A,C$即為所求。

然而，並非在平面上任意取三點作為$B,I,O$皆有對應的三角形。若以上作法不能給出三角形，則問題可能出在$IB$與$\odot O$相切，也可能在於最後兩圓相切或外離。而且，若$B,I,O$三點無任何限制，則即使作法確實給出三角形，$I$亦不必為其內心，可能是旁心。該些情況下，不存在三角形以$B$為頂點，$I$為內心、$O$為外心。（對於固定的$B,O$兩點，若要存在此種三角形，則$I$必須位於以$B$為尖點關於$\odot O$作成的心臟線圍成的區域中。）

其他構作三角形的問題，如給定頂點、內心、九點圓心，求作三角形，有部分情況可化歸為前述問題解決，但一般而言無法尺規作出。

命名

本定理有許多不同的名稱。「雞爪定理」得名自$DA,DI,DC$諸線段組成的幾何圖形。同樣，俄文稱為лемма о трезубце，謂三叉引理，或теорема трилистника，謂三葉草定理。英文又稱theorem of trillium「延齡草定理」，亦是以某種三葉植物命名。

定理亦有其他名稱並非來自該形狀，如「內心/旁心引理」（the incenter/excenter lemma）。