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隱函數定理

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數學分析中,隱函數定理(英語:Implicit function theorem)是一個用來回答下面的問題的工具:

隐函数表示一個多變量函數,此函數的變量在局部上是否存在显式的关系?

隱函數定理說明,對於一個由關係 表示的隱函數,如果它在某一點的偏微分滿足某些條件,則在該點有鄰域使得在該鄰域內 y 可以表示成關於 x 的函數:

這樣就把隱函數關係變成了常見的函數關係。

舉一個簡單例子:假設兩個變量 x, y 滿足隱函數 x2 + y2 − 1 = 0,此隱函數代表了平面上的單位圓,任取單位圓中的一點,那是否存在包含該點的鄰域跟定義在鄰域裡的顯函數 y=h(x) 去(局部的)描述這單位圓的圖形?

答案是:除了(-1,0) 跟 (1,0 ) 兩點外,其他點局部上都有 y=h(x) 的顯函數表達式。理由請看下面的隱函數定理。

例子

讓函數,則單位圓就可以寫成滿足方程式的點的集合。在圓上的點A附近,y 可以表示成 x 的函數: ,但點B就不行(因為在點B附近,一個 x 會對應到兩個 y 的值)。

有函數 ,那麼方程式 的所有解的集合構成平面上的單位圓。圓上的點整體上是無法表示成單變數函數 的形式的,因為每個都有兩個的值與之對應,即

然而在某些點附近,局部地用 來表示 是可能的。比如給定圓上一點 ,如果 ,也就是說如果只選取圓的上半部分的話,在這一點附近 可以寫成關於 的函數:。如果 ,在圓的下半部分 也可以寫成關於 的函數:

但是,在點 的附近, 無法寫成關於 的函數,因為這些點的每一個鄰域中都包含了上半圓和下半圓的點,也就是說對於附近的每一個 ,都有兩個 的值與之對應,這種情況下 無法寫成 的函數。

定理的敘述:歐幾里得空間的情況

f : Rn+mRm 為一個連續可微函數。這裡Rn+m 被看作是兩個空間的直積Rn×Rm,於是 Rn+m 中的一個元素寫成 (x,y) = (x1, ..., xny1, ..., ym) 的形式。 我們的目標是找到一個函數 h: RnRm ,讓這函數的圖形(graph of a function), (x, h(x)), 局部上恰好等於集合{ (x, y) | f(x,y) = 0},當然這目標不見得一定可以達成,接下來我們會看需要哪些條件來保證函數 h 的局部存在。

固定一點(a,b) = (a1, ..., anb1, ..., bm) 使得 f(ab) = 0,我們希望在點 (a,b) 的附近找到一個 y 關於 x 的函數 h,嚴格來說,就是說存在 a 的鄰域 URnb鄰域 VRm 以及函數:h : UV,使得 h 的函數的圖形 (x, h(x)) 剛好等於 U × V f(x,y) = 0 的集合,也就是說:

要保證這樣的函數 h 存在,函數 f雅可比矩陣要滿足某些性質。對於給定的一點 (a,b)f雅可比矩陣寫作:

其中的矩陣 是函數 f 關於變數 x 的偏微分,而矩陣 f 關於變數 y 的偏微分。隱函數定理說明了:如果是一個可逆矩陣的話,那麼滿足前面性質的鄰域 UV 和函數 h(x) 就會存在。正式的敘述就是:

f : Rn+mRm連續可微函數,讓 Rn+m 中的坐標記為 (xy), (x, y) = (x1, ..., xn, y1, ..., ym)。給定一點  (a1, ..., anb1, ..., bm) = (a,b) 使得   f(a,b)=00Rm,是個零向量)。如果 m×m 矩陣 [(∂fi / ∂yj)(a, b) 是可逆矩陣的話(此矩陣即上面的矩陣 ),那麼存在 a 的鄰域 URnb 的鄰域 VRm 以及唯一的連續可微函數 h:UV,使得

對所有的 

一般情形

是三個巴拿赫空間,而分別是上的兩個開集。設函數:

是一個可微函數(見Fréchet導數英語Fréchet derivative),並且對於中的一點,滿足:

  • 映射 是一個從的同構

那麼有如下結論:

存在鄰域 鄰域 ,以及 階Fréchet可微函數,使得:
對任意,只要,就有

參見

參考來源

  • Jittorntrum, K. An Implicit Function Theorem. Journal of Optimization Theory and Applications. 1978, 25 (4). doi:10.1007/BF00933522. 
  • Kumagai, S. An implicit function theorem: Comment. Journal of Optimization Theory and Applications. 1980, 31 (2). doi:10.1007/BF00934117.