阿廷模

阿廷模是抽象代數中一類滿足降鏈條件的模。

定義

以下固定一個環 $A$。設 $M$ 為左 $A$-模，當 $M$ 滿足下列，則稱 $M$ 為阿廷模：

對所有由 $M$ 的子模構成的降鏈 $M_{1}\supset M_{2}\supset \cdots$，存在 $N\in \mathbb {N}$ 使得 $i\geq \mathbb {N} \Rightarrow M_{i}=M_{i+1}$；換言之，此降鏈將會固定。

若將上述定義中的左模換成右模，可得到右阿廷模的定義。

性質

• 若 $A$ 是 $k$-代數，任何在 $k$ 上有限維的 $A$-模都是阿廷模。
• 若 $N\subset M$，且 $N$ 與 $M/N$ 皆為阿廷模，則 $M$ 為阿廷模。
• 阿廷模的子模與商模皆為阿廷模。
• 阿廷模與環的性質差異之一，在於有非諾特模的阿廷模，以下將給出一個例子：

令 $M:=\mathbb {Z} [1/p]/\mathbb {Z}$，視之為 $\mathbb {Z}$-模。升鏈

$\langle 1/p\rangle \subset \langle 1/p^{2}\rangle \subset \langle 1/p^{3}\rangle \cdots$

不會固定，因此 $M$ 並非諾特模。然而我們知道 $M$ 的任何子模皆形如 $\langle 1/n\rangle$，由此可知任何降鏈皆可寫成

$\langle 1/n_{1}\rangle \supset \langle 1/n_{2}\rangle \supset \langle 1/n_{3}\rangle \cdots$

其中 $n_{i+1}|n_{i}$，故將固定，於是 $M$ 是阿廷模。

文獻

• Serge Lang, Algebra (2002), Graduate Texts in Mathematics 211, Springer. ISBN 0-387-95385-X