么正矩陣

在線性代數中，么正矩陣（又譯作酉矩陣，英語：unitary matrix）指其共軛轉置恰為其逆矩陣的複數方陣，數學描述如下：

（數學定義）$U^{*}U=UU^{*}=I_{n}$，

（推論）$U^{-1}=U^{*}$。

其中 U* 是 U 的共軛轉置，I_n 是 n×n 單位矩陣。

么正矩陣是正交矩陣（元素均為實數）在複數的推廣。

例子

以下是一個酉矩陣的例子：

$U={\begin{bmatrix}-{\frac {i}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {i}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\\end{bmatrix}}$。

驗證如下：

$U^{*}U={\begin{bmatrix}{\frac {i}{\sqrt {2}}}&-{\frac {i}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-{\frac {i}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {i}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}$

$UU^{*}={\begin{bmatrix}-{\frac {i}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {i}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {i}{\sqrt {2}}}&-{\frac {i}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}$

性質

從定義可知，么正矩陣滿足以下性質：

$U^{*}U=UU^{*}=I_{n}$ 。

由此可見，么正矩陣與其共軛轉置 U* 矩陣乘法可交換，是正規矩陣。

么正矩陣亦必定可逆，且逆矩陣等於其共軛轉置：

$U^{-1}=U^{*}$。

么正矩陣 U 的所有特徵值 λ_n ，都是絕對值等於 1 的複數：

$\left|\lambda _{n}\right|=1$ 。

因此，么正矩陣 U 行列式的絕對值也是 1：

$\left|\det(U)\right|=1$ 。

么正矩陣 U 不會改變兩個複向量 x 和 y 的點積：

$(U\mathbf {x} )\cdot (U\mathbf {y} )=\mathbf {x} \cdot \mathbf {y}$。

更一般地說，所有希爾伯特內積也不會改變：

$\langle U\mathbf {x} ,U\mathbf {y} \rangle =\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle$。

若 U 及 V 都是么正矩陣，則 UV 也是么正矩陣：

$(UV)^{*}(UV)=(UV)(UV)^{*}=I_{n}$。

若 U 為 n×n 矩陣，則下列條件等價：

1. U 是么正矩陣
2. U^*是么正矩陣
3. U 的列向量是在 Cⁿ 上的一組標準正交基
4. U 的行向量是在 Cⁿ 上的一組標準正交基

給定任意的 n ，所有 n 階么正矩陣的集合 G 與矩陣乘法「⋅」，都能構成一個群 (G, ⋅ )。

么正對角化

么正對角化（又譯作酉對角化，英語：unitary diagonalisation），指把一個矩陣 A 對角化成以下形式：

$A=UDU^{*}$ ，

其中 U 是么正矩陣，D 是對角矩陣。

根據譜定理，一個矩陣 A 可么正對角化，若且唯若 A 是正規矩陣，即它與其共軛轉置 A* 矩陣乘法可交換（A*A = AA*）。

由於么正矩陣本身也是一個正規矩陣，因此么正矩陣 U 也可么正對角化：

$U=V\Sigma V^{*}\;$，

其中 V 是么正矩陣，Σ 是對角矩陣。

參見

• 共軛轉置
• 厄米矩陣
• 矩陣分解
• 么正群
• 么正算符
• 辛矩陣

參考資料

• Rowland, Todd. "Unitary Matrix." From MathWorld--A Wolfram Web Resource, created by Eric W. Weisstein. http://mathworld.wolfram.com/UnitaryMatrix.html （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Peter V. O'Neil（2012）。高等工程數學（第7版）。黃孟槺譯。華泰文化總經銷，ISBN 978-1-285-10502-4。