邁爾定理

在數論上，邁爾定理（Maier's theorem）是一個關於短區間內的質數數量的定理。而該定理指出克拉梅爾的質數機率模型給出的猜測是錯的。

該定理指稱若 $π$ 是素數計數函數，而 $λ$ 是一個大於1的數，那麼下式在 $x$ 趨近於無限時發散：

{\frac {\pi (x+(\log x)^{\lambda })-\pi (x)}{(\log x)^{\lambda -1}}}

更精確地講，上式的上極限大於1，下極限小於1；而在利用波萊爾-坎泰利引理的狀況下，克拉梅爾的質數模型則錯誤地預測在 $\lambda \geq 2$ 時該式子的極限是1。

證明

赫爾穆特·邁爾（英語：Helmut Maier）利用亞歷山大·布赫施塔布（英語：Alexander Buchstab）給出的、計算準質數（對於給定的 $u$ ，沒有小於 $z=x^{1/u}$ 的質因數的數組成的集合）數量的公式證明了這點。他在證明中並用了派屈克·X·加拉格爾（英語：Patrick X. Gallagher）給出的關於算數數列中質數數量的公式。

平茨·亞諾什（匈牙利語：Pintz János）給出另一個證明，並證明多數的質數機率模型錯誤地估計質數定理的一個版本中的均方誤差，該均方誤差如下：

\int _{2}^{Y}\left(\sum _{2<p\leq x}\log p-\sum _{2<n\leq x}1\right)^{2}\,dx

Maier, Helmut, Primes in short intervals, The Michigan Mathematical Journal, 1985, 32 (2): 221–225 [2024-01-09], ISSN 0026-2285, MR 0783576, Zbl 0569.10023, doi:10.1307/mmj/1029003189 , （原始內容存檔於2020-08-12）
Pintz, János, Cramér vs. Cramér. On Cramér's probabilistic model for primes, Functiones et Approximatio Commentarii Mathematici, 2007, 37: 361–376 [2024-01-09], ISSN 0208-6573, MR 2363833, Zbl 1226.11096, doi:10.7169/facm/1229619660 , （原始內容存檔於2020-06-26）
Soundararajan, K., The distribution of prime numbers, Granville, Andrew; Rudnick, Zeév (編), Equidistribution in number theory, an introduction. Proceedings of the NATO Advanced Study Institute on equidistribution in number theory, Montréal, Canada, July 11--22, 2005, NATO Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry 237, Dordrecht: Springer-Verlag: 59–83, 2007, ISBN 978-1-4020-5403-7, Zbl 1141.11043