選擇公理

(S_i) 是一個以實數集R為指標集的集族；也就是說，對每一個實數i，均存在一個集合 S_i，如圖所示。每一個集合包含至少一個（可能是無限個）元素。選擇公理可以斷言，我們可以從每一個集合中選擇一個元素，組成一個在R上的索引族(x_i)，這裡x_i∈S_i，i∈R。一般情況下，指標集可以是任意集合I，而不僅僅是R。

選擇公理（英語：Axiom of Choice，縮寫AC）是數學中的一條集合論公理，用來證明一些難以明確構造的物件的存在性。選擇公理最早於1904年，由恩斯特·策梅洛為了證明良序定理而作為一條公理加入。

非正式地說，給定一些盒子（可以是無限個），每個盒子中都含有至少一個小球，這時選擇公理相當於是在說——可以從每個盒子裡拿出一顆球。在很多情況下這樣的選擇並不需要藉助選擇公理；尤其是在「盒子個數有限」或「盒子內的球具有額外的特徵」這兩種情況下，經常可以直接指明選擇的方式。關於「存在具體的選擇方式」可以透過以下例子理解：假設有許多（甚至是無限）雙鞋子，則可以選取每雙鞋左邊的鞋子構成一個具體的選擇，由於在鞋子之中「存在具體的選擇規則」(左邊的鞋子不同於右邊的鞋子)，所以即使沒有選擇公理也依然可以做出具體的選擇。但是，如果把鞋子改成襪子，且每雙襪子都沒有可區分的特徵，在這種情況下，「選擇的存在性」只能通過選擇公理得到。

儘管曾經具有爭議，選擇公理現在已經被大部份數學家毫無保留地使用著，例如帶有選擇公理的策梅洛-弗蘭克爾集合論（ZFC）。數學家們使用選擇公理的原因是，有許多被普遍接受的數學定理，比如是吉洪諾夫定理，都需要選擇公理來證明。現代研究集合論的數學家也研究與選擇公理相矛盾的公理，例如決定公理。

在一些構造性數學的理論中會避免選擇公理的使用，不過也有的將選擇公理包括在內。

陳述

首先定義幾個概念：

集族：指由非空集合組成的集合。

選擇函數：它是一個集族上的函數。它規定：對於所有在集族$X$中的集合$s$，$f(s)$是$s$的一個元素。

那麼，選擇公理表示：

對於所有的集族，均存在選擇函數。

上述可表示為：

$\forall X\left[\emptyset \notin X\implies \exists f\colon X\rightarrow \bigcup X\quad \forall A\in X\,(f(A)\in A)\right]\,.$

或者：

設$X$是一個集族，則存在著在$X$上定義的一個選擇函數$f$。

該定理也可表達為：

集族上的任意笛卡兒積總是非空的。

變體

第二個版本的選擇公理聲稱：

給定由相互不交的非空集合組成的任何集合，存在著至少一個集合，它與每個非空集合恰好有一個公共元素。

第三個版本聲稱：

對於任何集合$A$，$A$的冪集（減去空集）有一個選擇函數。

使用這個版本的作者通常談及「在$A$上的選擇函數」，但要注意這裡選擇函數的概念是稍微不同的。它的定義域是$A$的冪集（減去空集），因此對任何集合$A$有意義；至於本文中其他地方用的定義，在「集合的搜集」上的選擇函數的定義域是這個搜集，所以只對集合的集合有意義。透過這個變體的定義，選擇公理也可以簡潔的陳述為

所有集合有一個選擇函數。

它等價於

對於任何集合$A$有一個函數使得對於$A$的任何非空子集$B$，$f(B)\in B$。

而選擇公理的否定表達為：

有一個集合$A$使得對於所有函數$f$（在$A$的非空子集的集合上），有一個$B$使得$f(B)\notin B$。

術語（AC，ZF，ZFC）

以下列出了這篇條目中各種與「選擇公理」相關的縮寫：

• AC：選擇公理。
• ZF：策梅洛-弗蘭克爾集合論，不包括選擇公理。
• ZFC：策梅洛-弗蘭克爾集合論，包括選擇公理。

使用

直到19世紀晚期，選擇公理的使用一直都沒有得到明確聲明。例如，建立了只包含非空集合的集合$X$之後，當時的數學家可能會直接說「設對於$X$中所有$s$有$F(s)$是$s$的成員之一」。一般來說，要是不用選擇公理，是不可能證明$F$的存在性的。這一點直到策梅洛之前似乎沒有引起人們的注意。

不是所有的情況都需要選擇公理。選擇公理對於那些沒有可定義的選擇才有必要。值得指出的是，對於有限集合$X$，選擇公理的有限版本可以通過其他集合論公理推導得出。在這種情況下，它等價於說我們有多個（有限數目的）盒子，每個包含至少一個物體，則我們可以從每個盒子恰好選擇一個物體。顯然我們可以這麼做：從第一個盒子開始，選擇其中的一個物體；到下一個盒子，選擇一個物體；如此類推。因為盒子數量有限，所以我們的選擇過程最後一定會結束。這裡給出的選擇函數是明確的：第一個盒子對應於第一個選擇的物體，第二個盒子對應於第二個選擇物體；如此類推——此法之所以可行，是因為序對公理的原因。可以通過數學歸納法做出對所有有限集合的形式證明。

例子

對於特定的無限集合$X$，也可以避免使用選擇公理。例如，假設$X$的元素是自然數的集合。每個自然數的非空集合都有一個最小的自然數，所以只要簡單的把每個集合映射到這個集合內最小的數字，就得到了選擇函數。這使得我們可以從每個集合明確地選擇元素，以及寫出一個明確的表達式，說明我們的選擇函數如何取值。在能夠指定一個明確選擇方式的時候，選擇公理都是沒有必要的。

當缺乏從每個集合得到元素的直觀選擇方式時，困難就出現了。如果不知道選擇的方式，那要怎麼確認選擇函數的存在？例如，假設X是實數的所有非空子集的集合。第一個可能產生的思路是套用有限的情況去處理$X$。如果嘗試從每個集合選擇一個元素，那麼，因為實數集合是無限不可數，所以選擇的過程永遠不會結束。也因為如此，永遠不能構造出對$X$的成員的選擇函數。所以這種方法不能奏效。第二個可能產生的思路是嘗試給每個集合指定最小元素，但是很多實數的子集沒有最小元素。例如，開區間$(0,1)$沒有最小元素：如果$x$在$(0,1)$中，則${\frac {x}{2}}$也在其中，而${\frac {x}{2}}$總是嚴格的小於$x$。所以這種方法也不行。

我們之所以能夠從自然數的非空子集選擇最小元素，是因為自然數上有一個良序：所有自然數的非空子集都有一個唯一的最小元素。

因此，第三個思路，「即使實數的正常排序方式不是良序，是不是也能找到一個排序使得實數是良序的？」。如果真的有這種排序方式，那就能夠選擇實數非空子集的最小元素，從而得到了選擇函數——然而問題就變成如何構造這樣的排序。而事實上，「存在一個排序使得所有集合是良序的」等價於選擇公理。

有必要用到選擇公理的證明總是非構造性的，即使證明給出了一個物件，精確地說出那個物件卻是不可能的。如果不能寫出選擇函數的定義，那這個選擇到底是什麼？這是一些數學家不喜歡選擇公理的理由之一。例如，構造主義者論斷說所有涉及存在性的證明都應當是完全明確的；構造任何存在的物件應當是可能的。他們拒絕選擇公理，因為它斷言了「不能具體描述的物件」存在。

構造性數學

像上面討論的那樣，在ZFC中，選擇公理能為一個不能明確構造出的物件給出「非構造性證明」來證明其存在性。然而，ZFC依然是在經典邏輯下被形式化的。在構造性數學領域，選擇公理仍被深入研究，而當中應用的是非古典邏輯。在構造性數學的不同版本中，選擇公理的狀況也有所差別。

在直覺類型論和高階的Heyting算術中，選擇公理的適當陳述（按照推導方式）可以是作為一個公理，又或者作為一個可證明的定理。埃里特‧畢夏普認為選擇公理可被視作是構造性的：

“ 在構造性數學中選擇函數是存在的，因為存在的涵義蘊涵了選擇。 ”

但在構造性集合論中，迪亞科內斯庫定理表明選擇公理蘊涵了排中律（在直覺類型論中，選擇公理不蘊涵排中律）。因此選擇公理在構造性集合論中並非普遍被接受。在類型論中的選擇公理與在構造性集合論中的選擇公理的區別是，前者不具有外延性而後者具有。

一些構造性集合論的結果用到了可數選擇公理或依賴選擇公理，這兩個公理在構造性集合論內並不蘊涵排中律。儘管可數選擇公理在構造性數學中的應用特別廣泛，它的使用也受到質疑。

強形式公理

可構造性公理與連續統假設都蘊涵了選擇公理，更準確地說，兩者都嚴格強於選擇公理。在類理論中，如馮諾伊曼-博內斯-哥德爾集合論和Morse–Kelley集合論，存在一個叫全局選擇公理的公理，它比選擇公理要強，因其同時也適用於真類。全局選擇公理可由大小限制公理推出。

結論

哥德爾證明了選擇公理與ZF的相對協調性。保羅·寇恩用力迫法證明了選擇公理獨立於ZF。

參考文獻

來源

• Ernst Zermelo, "Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I," Mathematische Annalen 65: (1908) pp. 261-81. PDF download via digizeitschriften.de

Translated in: Jean van Heijenoort, 2002. From Frege to Godel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931. New edition. Harvard Univ. Press. ISBN 978-0-674-32449-7.

• 1904. "Proof that every set can be well-ordered," 139-41.
• 1908. "Investigations in the foundations of set theory I," 199-215.

• Gregory H Moore, "Zermelo's axiom of choice, Its origins, development and influence", Springer; 1982. ISBN 978-0-387-90670-6.
• Paul Howard and Jean Rubin, "Consequences of the Axiom of Choice". Mathematical Surveys and Monographs 59; American Mathematical Society; 1998.

外部連結

• Paul Howard at EMU （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）有很多人仍然在為選擇公理和它的推論而樂此不疲地工作。如果你有興趣了解更多內容，請參考這個網站。

參見

• 集合論
• 佐恩引理
• 良序定理
• 吉洪諾夫定理
• 策梅洛-弗蘭克爾集合論
• 馮諾伊曼-博內斯-哥德爾集合論
• 全局選擇公理
• 可數選擇公理
• 連續統假設
• 排中律
• 直覺類型論