跡類算子

在數學中，跡類算子（英語：Trace class）是一個滿足如下條件的緊算子，可以為其定義跡，使得跡有限且與基底的選擇無關。跡類算子本質上與核型算子相同，但是許多作者將希爾伯特空間上的核型算子這一特殊情況稱為「跡類算子」，而將「核型算子」用於更一般的巴拿赫空間。

定義

模擬矩陣的定義，在可分希爾伯特空間H上的有界線性算子A被稱為屬於跡類，如果對於H的所有標準正交基{e_k}_k

$\|A\|_{1}={\rm {Tr}}|A|:=\sum _{k}\langle (A^{*}A)^{1/2}\,e_{k},e_{k}\rangle$

有限。此時

${\rm {Tr}}A:=\sum _{k}\langle Ae_{k},e_{k}\rangle$

絕對收斂且不依賴於標準正交基的選擇。這個值被稱為A的跡。當H是有限維空間時，每個線性算子都是跡類的，並且A的跡的定義與矩陣的跡的定義一致。

如果A是非負自伴算子，我們也可以通過可能發散的求和將A的跡定義為擴展實數

$\sum _{k}\langle Ae_{k},e_{k}\rangle .$

性質

1.	如果A是非負自伴算子，若且唯若Tr(A)<∞時，A是跡類的。 因此，自伴算子A是跡類的，若且唯若其正部A+和負部A−都是跡類的。 （自伴算子的正負部通過連續泛函演算得到。）
2.	跡是跡類算子空間上的線性泛函，即 $\operatorname {Tr} (aA+bB)=a\,\operatorname {Tr} (A)+b\,\operatorname {Tr} (B)$。 雙射 $\langle A,B\rangle =\operatorname {Tr} (A^{*}B)$ 是跡類算子空間上的內積; 相應的範數被稱為希爾伯特-施密特範數。 跡類算子在希爾伯特-施密特範數意義下的完備化被稱為希爾伯特-施密特算子。
3.	如果$A$有界且$B$是跡類的，則$AB$和$BA$也是跡類的，且有 $\|AB\|_{1}=\operatorname {Tr} (|AB|)\leq \|A\|\|B\|_{1},\qquad \|BA\|_{1}=\operatorname {Tr} (|BA|)\leq \|A\|\|B\|_{1}$ 此外，在同樣的假設下， $\operatorname {Tr} (AB)=\operatorname {Tr} (BA)$ 最後的斷言在$A$和$B$都是希爾伯特-施密特算子這樣較弱的假設下也成立。
4.	如果$A$是跡類的，則可以定義$1+A$的弗雷德霍姆行列式 ${\rm {det}}(I+A):=\prod _{n\geq 1}[1+\lambda _{n}(A)]$ 其中$\{\lambda _{n}(A)\}_{n}$是$A$的譜。$A$的跡類條件保證這一無限乘積是有限的：實際上 ${\rm {det}}(I+A)\leq e^{\|A\|_{1}}$。 這還意味著${\rm {det}}(I+A)\neq 0$若且唯若$(I+A)$是可逆的。

Lidskii定理

令$A$是可分希爾伯特空間$H$中的跡類算子，並且令$\{\lambda _{n}(A)\}_{n=1}^{N},$ $N\leq \infty$為$A$的特徵值。 假設$\lambda _{n}(A)$在計數時考慮了代數重數（即如果$\lambda$的代數重數為$k$，則$\lambda$在計數時被重複$k$次如$\lambda _{1}(A),\lambda _{2}(A),\dots$）。Lidskii定理（以Victor Borisovich Lidskii命名）指出

$\sum _{n=1}^{N}\lambda _{n}(A)=\operatorname {Tr} (A)$。

注意到由於外爾不等式，左側的數列絕對收斂

$\sum _{n=1}^{N}|\lambda _{n}(A)|\leq \sum _{m=1}^{M}s_{m}(A)$

在特徵值$\{\lambda _{n}(A)\}_{n=1}^{N}$和緊算子$A$的奇異值$\{s_{m}(A)\}_{m=1}^{M}$之間。參見例如

幾類算子間的關係

通過將跡類算子作為序列空間l¹(N)的非交換類比，可以將某些類的有界算子視為經典序列空間的非交換類比。

實際上，可以應用譜定理證明可分希爾伯特空間上的每個正規跡類算子可以以某種方式視作l¹序列，通過對一對希爾伯特基底的某種選擇來實現。 同樣，有界算子是l^∞(N)的非交換類比，緊算子對應c₀（序列收斂到0），希爾伯特-施密特算子對應於l²(N)，有限秩算子對應只有有限多非零項的序列。 在某種程度上，這些類的算子之間的關係類似於它們的可交換類比之間的關係。

希爾伯特空間上的每個緊算子T都有如下標準型

$\forall h\in H,\;Th=\sum _{i=1}\alpha _{i}\langle h,v_{i}\rangle u_{i}\quad {\mbox{其中}}\quad \alpha _{i}\geq 0\quad {\mbox{且}}\quad \alpha _{i}\rightarrow 0$

對於某組標準正交基{u_i}和{v_i}。為了使上述啟發式評論更精確，如果序列∑_iα_i收斂，則有T是跡類的；如果∑_iα_i²收斂，T是希爾伯特-施密特算子；如果序列{α_i}只有有限多非零項，T是有限秩的。

上述描述可以得到一些事實，將這些類算子聯繫起來。例如下述包含關係成立（包括H是無限維空間的情形）：{有限秩算子}⊂{跡類算子}⊂{希爾伯特-施密特算子}⊂{緊算子}。

跡類算子賦有跡範數||T||₁=Tr[(T*T)^½]=∑_iα_i。範數對應的希爾伯特-施密特內積是||T||₂=(TrT*T)^½=(∑_iα_i²)^½。一般的算子範數是||T|| = sup_i(α_i)。利用序列的經典不等式，

$\|T\|\leq \|T\|_{2}\leq \|T\|_{1},$

對於適當的T。

清楚的是，有限秩算子在跡類算子空間和希爾伯特-施密特算子空間中在它們各自範數意義下稠密。

跡類作為緊算子的對偶

c₀的對偶空間是l¹(N)。類似的，緊算子的對偶空間記作K(H)*，是跡類算子，記作C_1。下面的陳述與序列空間相對應。令f∈K(H)*，給出f的等價形式算子T_f定義如下

$\langle T_{f}x,y\rangle =f(S_{x,y}),$

其中S_x,y是秩為1的算子，如下給定

$S_{x,y}(h)=\langle h,y\rangle x.$

這一等式成立因為有限秩算子在K(H)中的範數意義下稠密。在T_f是正算子的情況下，對於任意標準正交基u_i，有

$\sum _{i}\langle T_{f}u_{i},u_{i}\rangle =f(I)\leq \|f\|,$

其中I是恆等算子

$I=\sum _{i}\langle \cdot ,u_{i}\rangle u_{i}.$

這意味著T_f是跡類的。利用極分解可以將上述討論拓展到一般情形，T_f不需要是正算子。

通過對有限秩算子取極限可以證明||T_f||₁=||f||。因此K(H)*等距同構到C₁。

有界算子的預對偶

l¹(N)的對偶是l^∞(N)。跡類算子C₁的對偶是有界算子B(H)。更準確地說，集合C₁是B(H)中的雙邊理想。因此，給定B(H)中任意算子T，可以通過φ_T(A)=Tr(AT)定義$C_{1}$上連續線性泛函φ_T。有界線性算子和$C_{1}$的對偶空間中的元素φ_T的對應關係是一個等距同構。因此，B(H)是$C_{1}$的對偶空間。這可以用於定義B(H)上的弱-*拓撲。

參考文獻

• Dixmier, J, Les Algebres d'Operateurs dans l'Espace Hilbertien, Gauthier-Villars, 1969