連通空間

R² 的連通和不連通子空間。上面的空間 A 是連通的，下面的空間 B 是不連通的。

在拓撲學及相關的數學領域中，連通空間是指不能表示為兩個或多個不相交的非空開集的聯集的拓撲空間。

定義

如果拓撲空間$X$中存在兩個分離的非空開集$A,B$使得它們的聯集等於$X$，則$X$被稱作不連通的，否則稱它是連通的。

對拓撲空間$X$，以下條件為等價的：

• $X$連通，即$X$不能表示為兩個分離的非空開集的聯集。
• $X$只有$\emptyset$和$X$這兩個平凡的閉開集。
• 所有從$X$到$\{0,1\}$的連續函數都是常數函數，其中空間$\{0,1\}$由兩點集的離散拓撲構成。

連通性是拓撲空間的一個拓撲不變性質，即如果兩個同胚拓撲空間之一連通，則另一個空間也連通。

一些數學家承認空集(按照它獨有的拓撲)是連通空間，不過也有數學家不承認這一點。

連通單元

如果拓撲空間$X$的子集$A$誘導的子拓撲空間是連通的，則$A$被稱為$X$的連通子集。

對拓撲空間$X$上的點$x$，所有包含$x$的連通子集的聯集

$U_{x}=\bigcup _{S{\text{連 通 }},x\in S}S$

也是連通的。作為包含$x$的極大連通子集，$U_{x}$稱作關於$x$的連通單元。

如果$X$的所有連通單元都是單元素集合，則稱$X$為完全不連通空間。

每個空間都能表成它的連通單元的不相交聯集。

連通單元必為閉集，在一些理想的拓撲空間（如流形、代數簇）上同時是開集，但這不代表連通單元總是閉開集（例如完全不連通空間$\mathbb {Q}$，單元素集合在該空間中並非開集）。

其它連通性定義

路徑連通，弧連通

R² 的這個子空間是路徑連通的，因為在這個空間的任何兩點之間可繪製一個道路。

稱拓撲空間X是道路連通空間，若且唯若∀x,y∈X，存在連續函數$\gamma :[0,1]\to X$ 使得 $\gamma (0)=x,\gamma (1)=y$。若$\gamma$ 可取為使得 $[0,1]\to \gamma ([0,1])$ 為同胚，則稱X為弧連通空間。

路徑連通空間必定是連通空間，反之不一定。

路徑連通的郝斯多夫空間必為弧連通空間。

局部連通

拓撲空間X稱為局部連通的，若且唯若以下敘述之一成立：

• 空間中的任一點都存在連通的鄰域（即該鄰域是X的連通子集）。
• 空間的拓撲基完全由連通的集合組成。

例子

• 拓撲學家的正弦曲線：在平面歐幾里得空間$\mathbb {R} ^{2}$中定義集合
  $S=\{(x,\sin {\frac {1}{x}})|x\in (0,1]\}$
  和
  $T=\{(0,y)|y\in [0,1]\}$
  。考慮$S\cup T$在$\mathbb {R} ^{2}$中誘導的子拓撲空間，它是連通的，但不是局部連通的。
• 有理數：有理數集上的連通單元都是單元素集合，所以有理數集是一個完全不連通空間。

性質

• 拓撲空間$X$中帶有公共點$x\in X$的連通子集的聯集連通。
• 令$A$為拓撲空間$X$中的一個連通子集，則所有滿足$A\subset B\subset {\overline {A}}$的子集$B$皆為連通子集，其中${\overline {A}}$為$A$的閉包。
• 序拓撲中的連通子集都是凸集。
• 實數$\mathbb {R}$是連通空間，它的所有（可以是無限）區間皆為連通子集。
• 對拓撲空間之間的連續函數$f:X\rightarrow Y$，$X$的連通子集在$f$下的像是$Y$的連通子集。這是$\mathbb {R}$上中間值定理的推廣。
• 連通空間的有限積空間連通。

參考文獻

• Munkres, James R. Topology, Second Edition. Prentice Hall. 2000. ISBN 0-13-181629-2. 
• 埃里克·韋斯坦因. Connected Set. MathWorld. 
• V. I. Malykhin, Connected space, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Muscat, J; Buhagiar, D. Connective Spaces (PDF). Mem. Fac. Sci. Eng. Shimane Univ., Series B: Math. Sc. 2006, 39: 1–13 [2011-09-06]. （原始內容 (PDF)存檔於2016-03-04）. .