達布定理

在實分析中，達布定理（英語：Darboux's theorem）得名於讓·加斯東·達布。達布定理說明所有的實導函數（某個實值函數的導數）都具有介值性質：實導函數對任意區間的值域仍是區間。即是說，若f為可導函數，則對任意區間I，f′(I) 仍為區間。

當函數 f 是一階連續可導函數（C¹）時，由介值定理，達布定理顯然成立。當導函數 f′ 不連續時，達布定理說明 f′ 仍具有介值性質。

歷史

19世紀時，大部分數學家認為介值定理已經可以刻畫出連續函數。但在1875年，讓·加斯東·達布證明這個想法是錯誤的，因為連續函數的導函數仍然具有介值性質，但不一定是連續函數。一個很常用的反例是函數：

h:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,\ x\mapsto x^{2}\sin \left({\frac {1}{x}}\right)

當

x\neq 0

h(0)=0

當

x=0

其導數在 $x=0$ 處並不連續。

內容

設 $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ 為閉區間 $[a,b]$ 上的實值可導函數，那麼對介於 $f'(a)$ 和 $f'(b)$ 之間的任意 $t$ ，存在 $x$ 屬於 $[a,b]$ 使得 $f'(x)=t$ 。

證明

不失一般性，我們可假設 $f\,'_{+}(a)>t>f\,'_{-}(b)$ 。又設 $g(x):=f(x)-tx$ ，則 $g'_{+}(a)>0>g'_{-}(b)$ 。只需找到 $g'$ 在 $[a,b]$ 上的一個零點即可。

由於 $g$ 是 $[a,b]$ 上的連續函數，由極值定理， $g$ 在 $[a,b]$ 上達到極大值。由於 $g'_{+}(a)>0$ ，極大值不在 $a$ 處取到。同理，由於 $g'_{-}(b)<0$ ，極大值也不在b處取到。設 $x$ 為取到極大值的點，這時， $g\,'(x)=0$ 。於是定理得證。