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貝祖定理

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數論中,貝祖等式(英語:Bézout's identity)或貝祖定理Bézout's lemma)是一個關於最大公因數(或最大公約式)的定理。貝祖定理得名於法國數學家艾蒂安·貝祖,說明了對任何整數 ,關於未知數 線性丟番圖方程式(稱為貝祖等式):

有整數解時若且唯若 最大公因數 倍數。貝祖等式有解時必然有無窮多個整數解,每組解 都稱為貝祖數,可用擴展歐幾里得演算法求得。

例如,12 和 42 的最大公因數是 6,則方程式 有解。事實上有 等。

特別來說,方程式 有整數解若且唯若整數 互質

貝祖等式也可以用來給最大公因數定義: 其實就是最小的可以寫成 形式的正整數。這個定義的本質是整環中「理想」的概念。因此對於多項式整環也有相應的貝祖定理。

歷史

歷史上首先證明關於整數的貝祖定理的並不是貝祖,而是17世紀初的法國數學家克勞德-加斯帕·巴歇·德·梅齊里亞克法語Claude-Gaspard Bachet de Méziriac。他在於1624年發表的著作《有關整數的令人快樂與愜意的問題集》(Problèmes plaisants et délectables qui se font par les nombres)第二版中給出了問題的描述和證明[1]

然而,貝祖推廣了梅齊里亞克的結論,特別是探討了多項式中的貝祖等式,並給出了相應的定理和證明[2]

整數中的貝祖定理

對任意兩個整數,設是它們的最大公因數。那麼關於未知數線性丟番圖方程式(稱為貝祖等式):

有整數解 若且唯若的整數倍。貝祖等式有解時必然有無窮多個解。

證明

如果 中有一個是0,比如,那麼它們兩個的最大公因數是。這時貝祖等式變成,它有整數解若且唯若的倍數,而且有解時必然有無窮多個解,因為可以是任何整數。定理成立。

以下設都不為0。

,下面證明中的最小正元素是的最大公因數。

首先, 不是空集(至少包含),因此由於自然數集合是良序的,中存在最小正元素。考慮中任意一個正元素)對帶餘除法:設,其中為正整數,。但是

因此 。也就是說,中任意一個正元素都是 的倍數,特別地:。因此 公因數

另一方面,對的任意正公因數,設,那麼

因此。所以最大公因數

在方程式中,如果 ,那麼方程式顯然有無窮多個解:

相反的,如果有整數解,那麼,於是由前可知 (即 )。

時,方程式有解若且唯若互質。方程式有解時,解的集合是

。其中是方程式的一個解,可由輾轉相除法得到。

所有解中,恰有二解滿足,等號只會在其中一個是另一個的倍數時成立。輾轉相除法給出的解會是這兩解中的一個。

例子

丟番圖方程式 沒有整數解,因為504和651的最大公因數是21。而方程式是有解的。為了求出通解,可以先約掉公因數21,這樣得到方程式:

通過擴展歐幾里得算法可以得到一組特解

特解的求法
為滿足的解

代回,解一元一次方程式得
代回,得
代回,得
為一組特解

於是通解為:,即

多個整數間的貝祖定理

個整數,是它們的最大公因數,那麼存在整數 使得 。特別來說,如果互質(不是兩兩互質),那麼存在整數 使得

多項式環裡的貝祖定理

時,對於多項式環裡的多項式,貝祖定理也成立。設有一族裡的多項式。設為它們的最大公約式(首項係數為1且次數最高者),那麼存在多項式使得。特別來說,如果互質(不是兩兩互質),那麼存在多項式使得

對於兩個多項式的情況,與整數時一樣可以得到通解。

任意主理想環上的情況

貝祖可以推廣到任意的主理想環上。設環是主理想環,為環中元素,是它們的一個最大公約元,那麼存在環中元素使得:

這是因為在主理想環中,的最大公約元被定義為理想生成元

參見

參考來源

  1. ^ 原版的网上版本(法文). [2008-08-26]. (原始內容存檔於2014-09-08). 
  2. ^ 证明的网上版本(法文). [2008-08-26]. (原始內容存檔於2019-12-01). 
  • 閔嗣鶴、嚴士健,初等數論,高等教育出版社,2003。
  • 唐忠明,抽象代數基礎,高等教育出版社,2006。

外部連結