虛數單位

虛數單位$i$在複平面的位置。橫軸是實數，豎軸是虛數

高斯整數導航
			↑
			2i
		−1+i	i	1+i
←	−2	−1	0	1	2	→
		−1−i	−i	1−i
			−2i
			↓

在數學、物理及工程學裏，虛數單位是指二次方程式$x^{2}+1=0$的解。雖然沒有這樣的實數可以滿足這個二次方程式，但可以通過虛數單位將實數系統$\mathbb {R}$延伸至複數系統$\mathbb {C}$。延伸的主要動機為有很多實係數多項式方程式無實數解。例如剛才提到的方程式$x^{2}+1=0$就無實數解。可是倘若我們允許解答為虛數，那麼這方程式以及所有的多項式方程式都有解。虛數單位標記為$i$，在電機工程和相關領域中則標記為$j$，這是為了避免與電流（記為$i(t)$或$i$）混淆。

定義

$\ldots$

${{i}^{-{3}}}=i$

${{i}^{-{2}}}=-1$

${{i}^{-{1}}}=-i$

${{i}^{0}}=1$

${{i}^{1}}=i$

${{i}^{2}}=-1$

${{i}^{3}}=-i$

${{i}^{4}}=1$

${{i}^{5}}=i$

${{i}^{6}}=-1$

$\ldots$

虛數單位$i$定義為二次方程式$x^{2}+1=0$的兩個根中的一個。這方程式又可等價表達為：

${{x}^{2}}=-1$。

由於實數的平方絕不可能是負數，我們假設有這麼一個數目解答，給它設定一個符號$i$。很重要的一點是，$i$是一個良定義的數學構造。

另外，虛數單位同樣可以表示為：

$i={\sqrt {-{1}}}$

然而$i={\sqrt {-{1}}}$往往被誤認為是錯的，他們的證明的方法是：

因為$-1=i\cdot i=\left({\sqrt {-1}}\right)\times \left({\sqrt {-1}}\right)={\sqrt {\left(-1\right)\times \left(-1\right)}}={\sqrt {1}}=1$，但是-1不等於1。

但請注意：${\sqrt {a\cdot b}}={\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}$成立的條件有$a$,$b$不能為負數。

實數運算可以延伸至虛數與複數。當計算一個表達式時，我們只需要假設$i$是一個未知數，然後依照$i$的定義，替代任何$i^{2}$的出現為-1。$i$的更高整數冪數也可以替代為$-i$，$1$，或$i$，根據下述方程式：

$i^{3}=i^{2}i=(-1)i=-i$，

$i^{4}=i^{3}i=(-i)i=-(i^{2})=-(-1)=1$，

$i^{5}=i^{4}i=(1)i=i$。

一般地，有以下的公式：

$i^{4n}=1$

$i^{4n+1}=i$

$i^{4n+2}=-1$

$i^{4n+3}=-i$

$i^{n}=i^{n{\bmod {4}}}$

其中${\bmod {4}}$表示被4除的餘數。

i和-i

方程式$x^{2}=-1$有兩個不同的解，它們都是有效的，且互為共軛虛數及倒數。更加確切地，一旦固定了方程式的一個解$i$，那麼$-i$（不等於$i$）也是一個解，由於這個方程式是$i$的唯一的定義，因此這個定義表面上有歧義。然而，只要把其中一個解選定，並固定為$i$，那麼實際上是沒有歧義的。這是因為，雖然$-i$和$i$在數量上不是相等的（它們是一對共軛虛數），但是$i$和$-i$之間沒有質量上的區別（-1和+1就不是這樣的）。在任何的等式中同時將所有i替換為-i，該等式仍成立。

$-i^{2}=1$

$-i=i^{-1}={\frac {1}{i}}$

正當的使用

虛數單位有時記為${\sqrt {-1}}$。但是，使用這種記法時需要非常謹慎，這是因為有些在實數範圍內成立的公式在複數範圍內並不成立。例如，公式${\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}={\sqrt {a\cdot b}}$僅對於非負的實數$a$和$b$才成立。

假若這個關係在虛數仍成立，則會出現以下情況：

$-1=i\cdot i={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}={\sqrt {1}}=1$（不正確）

$-1=i\cdot i=\pm {\sqrt {-1}}\cdot \pm {\sqrt {-1}}=\pm {\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}=\pm {\sqrt {1}}=\pm 1$（不正確）

${\frac {1}{i}}={\frac {\sqrt {1}}{\sqrt {-1}}}={\sqrt {\frac {1}{-1}}}={\sqrt {-1}}=i$（不正確）

i的運算

虛數單位$i$的平方根在複平面的位置

許多實數的運算都可以推廣到$i$，例如平方根、冪、對數和三角函數。以下運算除第一項外，均為與$i$有關的多值函數，在實際應用時必須指明函數的定義選擇在黎曼面的哪一支。下面列出的僅僅是最常採用的黎曼面分支的計算結果。

• $i$的平方根為：

$\pm \left({\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}i\right)=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)$

這是因為：

${\begin{aligned}\left[\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right]^{2}&=\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\ \\&={\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\\&={\frac {1}{2}}(1+2i-1)\\&=i\end{aligned}}$

使用主平方根符號表示：

${\sqrt {i}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)$

其解法為先假設兩實數$x$及$y$，使得$(x+iy)^{2}=i$，求解$x,y$

• 一個數的$ni$次冪為：

$x^{ni}=\cos \ln x^{n}+i\sin \ln x^{n}$

一個數的$ni$次方根為：

${\sqrt[{ni}]{x}}=\cos \ln {\sqrt[{n}]{x}}-i\sin \ln {\sqrt[{n}]{x}}$

利用歐拉公式

$i^{i}=\left[e^{i({\frac {\pi }{2}}+2k\pi )}\right]^{i}=e^{i^{2}({\frac {\pi }{2}}+2k\pi )}=e^{-({\frac {\pi }{2}}+2k\pi )}$，$k\in \mathbb {Z}$

代入不同的$k$值，可計算出無限多的解。當$k=0$最小的解是$e^{-{\frac {\pi }{2}}}\approx$0.20787957635076...

• 以$i$為底的對數為：

$\log _{i}x={{2\ln x} \over i\pi }$

• $i$的餘弦是一個實數：

$\cos i=\cosh 1={{e+{\frac {1}{e}}} \over 2}={{e^{2}+1} \over 2e}\approx$1.5430806348152...

• $i$的正弦是純虛數：

$\sin i=i\sinh 1={{e-{\frac {1}{e}}} \over 2}i={{e^{2}-1} \over 2e}i\approx$1.1752011936438...$i$

在程式語言

• 大部分的程式語言都不提供虛數單位，且平方根函數(大多為sqrt()或Math.Sqrt())的引數不可以是負數，因此，必須自行建立類別後方可使用。
• 但Lisp的許多實現與方言，如Common Lisp，內建虛數和複數的支持。不少動態語言受其影響，也在語言本身或標準庫中支持虛數和複數，如Python、Ruby。
• 一些傳統程式語言，如C語言，也從C99開始支持虛數和複數。
• 在Matlab，虛數單位的表示方法為i或j，但i和j在for迴圈可以有其他用途。
• 在Mathematica，虛數單位的表示方法為I、𝕚或𝕛。
• 在Maple，必須啟用虛數功能，並選擇用i還是j表示虛數單位。
• Go語言於第 1.0 版就內建虛數和複數的支持，變數類型為 complex64和complex128。

參見

• 代數基本定理
• 虛數
• 複數平面
• 單位根
• i

參考文獻

• Paul J. Nahin, An Imaginary Tale, The Story of √-1, Princeton University Press, 1998

外部連結

• 歐拉對多項式的複數根的研究
• i作為-1的平方根（英文視頻）
• $i^{7321}$的計算方法舉例（英文視頻）