良序定理

在數學中，良序定理（英語：Well-ordering theorem），或稱 Zermelo 定理，表示「所有集合都可以被良排序」。一集合 $X$ 被一個嚴格全序所良排序，如若對任意 $X$ 之非空子集，在該序關係下均蘊含一個最大元。所有與選擇公理等價之命題，良序定理同 Zorn 引理 乃最重要的兩個陳述。該定理相當重要，超限歸納法藉由該定理方可作用於任意集合。

歷史

Cantor 認為良序定理是「思維的基本原理」。但是多數數學家發現，找到如實數集合 $\mathbb {R}$ 這樣的良序集合併非那麽容易。在1904年，Gyula Kőnig 聲稱已經證明了這種良序不能存在。幾周之後，Felix Hausdorff 在他的證明中發現了一個錯誤。在此之後，Ernst Zermelo 引入了 「無可非議」 的選擇公理，以證明良序定理。事實上在一階邏輯下，良序定理等價於選擇公理，其中一個和 Zermelo-Frankel 集合論一起即可證明另一個；在二階邏輯下良序定理略強於選擇公理。

良序定理可給出似乎是悖論的推論，比如 Banach-Tarski 悖論。

關於選擇公理、Zorn 引理、良序定理，下面這句玩笑話在某種程度上説明了其直覺上之聯係：

「選擇公理顯然爲真，而良序原理顯然為假，那誰來說説 Zorn 引理？」

從選擇公理證明良序定理

證明如下。

設有欲良排序之任意集合 $A$，令 $f$ 為 $A$ 非空子集族的選擇函數。對任意序數 $\alpha$，定義 $A$ 中的元 $a_{\alpha }$ 為 $a_{\alpha }=f\left(A\backslash \left\{a_{\xi }\colon \xi <\alpha \right\}\right)$ 當 $A\backslash \left\{a_{\xi }\colon \xi <\alpha \right\}$ 非空，否則使 $a_{\alpha }$ 未定義。此時，$a_{\alpha }$ 選擇自 $A$ 之元素所構成的集合，而尚未被排序（或者因爲 $A$ 已然完全枚舉而未被定義）。接下來，定義 $A$ 上的序關係 $<$ 以 $a_{\alpha }<a_{\beta }$ 當且僅當 $\alpha <\beta$（在序數間通常的良序下），此即所需之 $A$ 上的良序，序類型 $\sup \left\{\alpha \colon a_{\alpha }{\mbox{ is defined}}\right\}$。

從良序定理證明選擇公理

證明如下。

為構建非空集之集族 $E$ 上之選擇函數，對該集族取並為 $X=\bigcup _{A\in E}A$。$X$ 存在良序；設該序關係為 $R$。對每個 $E$ 中的元 $S$，規定選擇函數映之於 $S$ 中在序關係 $R$ 下的最大元。這樣就得到了所需的選擇函數。

證明中，一個必不可少的點在於，證明僅涉及唯一一個任意選擇，即 $R$；分別於 $E$ 的每個元 $S$ 應用良序定理並不一定可行，因爲良序定理僅聲明了良序之存在性，而為每個 $S$ 賦予良序將要求簡單地對每個 $S$ 選擇出一個元那麽多的選擇。特別地，如果 $E$ 擁有不可數那麽多的集合，不藉由選擇公理，進行不可數次的選擇在 ZF 集合論下不被允許。

參見

• 良序關係
• 選擇公理
• 佐恩引理