數學上的線性化 （linearization）是找函數 在特定點的線性近似 ，也就是函數在該點的一階泰勒級數 。在動力系統 研究中，線性化是分析非線性 微分方程 系統或是非線性離散系統，在特定平衡點 局部穩定性 的一種方法[ 1] 工程學 、物理學 、經濟學 及生態學 的應用中。
函數 的線性化為線性函數 。針對函數
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
x
=
a
{\displaystyle x=a}
斜率 來進行近似時，假設
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
[
b
,
a
]
{\displaystyle [b,a]}
x
=
a
{\displaystyle x=a}
4
=
2
{\displaystyle {\sqrt {4}}=2}
4.001
=
4
+
.001
{\displaystyle {\sqrt {4.001}}={\sqrt {4+.001}}}
針對任意函數
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
L
a
(
a
)
=
f
(
a
)
{\displaystyle L_{a}(a)=f(a)}
L
a
(
x
)
{\displaystyle L_{a}(x)}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
x
=
a
{\displaystyle x=a}
一次方程 的圖形會形成直線，例如通過點
(
H
,
K
)
{\displaystyle (H,K)}
M
{\displaystyle M}
y
−
K
=
M
(
x
−
H
)
{\displaystyle y-K=M(x-H)}
若是配合點
(
a
,
f
(
a
)
)
{\displaystyle (a,f(a))}
L
a
(
x
)
{\displaystyle L_{a}(x)}
y
=
f
(
a
)
+
M
(
x
−
a
)
{\displaystyle y=f(a)+M(x-a)}
局部線性 ，該點的斜率可以用
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
x
=
a
{\displaystyle x=a}
函數局部線性的意思也表示函數圖形上的點可以任意接近 點
x
=
a
{\displaystyle x=a}
M
{\displaystyle M}
x
=
a
{\displaystyle x=a}
f(x)=x^2在(x , f (x ))的近似值 旁邊的圖可以說明
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
x
{\displaystyle x}
f
(
x
+
h
)
{\displaystyle f(x+h)}
h
{\displaystyle h}
f
(
x
+
h
)
{\displaystyle f(x+h)}
(
x
+
h
,
L
(
x
+
h
)
)
{\displaystyle (x+h,L(x+h))}
函數在點
x
=
a
{\displaystyle x=a}
y
=
(
f
(
a
)
+
f
′
(
a
)
(
x
−
a
)
)
{\displaystyle y=(f(a)+f'(a)(x-a))}
針對
x
=
a
{\displaystyle x=a}
f
(
a
)
=
f
(
x
)
{\displaystyle f(a)=f(x)}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
f
′
(
x
)
{\displaystyle f'(x)}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
a
{\displaystyle a}
f
′
(
a
)
{\displaystyle f'(a)}
若要找
4.001
{\displaystyle {\sqrt {4.001}}}
4
=
2
{\displaystyle {\sqrt {4}}=2}
f
(
x
)
=
x
{\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}
x
=
a
{\displaystyle x=a}
y
=
a
+
1
2
a
(
x
−
a
)
{\displaystyle y={\sqrt {a}}+{\frac {1}{2{\sqrt {a}}}}(x-a)}
f
′
(
x
)
=
1
2
x
{\displaystyle f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}
f
(
x
)
=
x
{\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}
x
{\displaystyle x}
代入
a
=
4
{\displaystyle a=4}
y
=
2
+
x
−
4
4
{\displaystyle y=2+{\frac {x-4}{4}}}
針對
x
=
4.001
{\displaystyle x=4.001}
4.001
{\displaystyle {\sqrt {4.001}}}
2
+
4.001
−
4
4
=
2.00025
{\displaystyle 2+{\frac {4.001-4}{4}}=2.00025}
函數
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle f(x,y)}
p
(
a
,
b
)
{\displaystyle p(a,b)}
f
(
x
,
y
)
≈
f
(
a
,
b
)
+
∂
f
(
x
,
y
)
∂
x
|
a
,
b
(
x
−
a
)
+
∂
f
(
x
,
y
)
∂
y
|
a
,
b
(
y
−
b
)
{\displaystyle f(x,y)\approx f(a,b)+\left.{\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}}\right|_{a,b}(x-a)+\left.{\frac {\partial f(x,y)}{\partial y}}\right|_{a,b}(y-b)}
多變數函數
f
(
x
)
{\displaystyle f(\mathbf {x} )}
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
f
(
x
)
≈
f
(
p
)
+
∇
f
|
p
⋅
(
x
−
p
)
{\displaystyle f({\mathbf {x} })\approx f({\mathbf {p} })+\left.{\nabla f}\right|_{\mathbf {p} }\cdot ({\mathbf {x} }-{\mathbf {p} })}
其中
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
[ 2]
配合線性化的技術，可以用研究線性系統 的工具來分析非線性系統在特定點附近的行為。函數在特定點附近的線性化是在該點附近泰勒級數 的一階展開。針對以下的系統
d
x
d
t
=
F
(
x
,
t
)
{\displaystyle {\frac {d\mathbf {x} }{dt}}=\mathbf {F} (\mathbf {x} ,t)}
其線性化系統為
d
x
d
t
≈
F
(
x
0
,
t
)
+
D
F
(
x
0
,
t
)
⋅
(
x
−
x
0
)
{\displaystyle {\frac {d\mathbf {x} }{dt}}\approx \mathbf {F} (\mathbf {x_{0}} ,t)+D\mathbf {F} (\mathbf {x_{0}} ,t)\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x_{0}} )}
其中
x
0
{\displaystyle \mathbf {x_{0}} }
D
F
(
x
0
)
{\displaystyle D\mathbf {F} (\mathbf {x_{0}} )}
F
(
x
)
{\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} )}
x
0
{\displaystyle \mathbf {x_{0}} }
雅可比矩陣 。
在自治系統 的穩定性 分析中，可以用在雙曲平衡點 雅可比矩陣 的特徵值 來判斷平衡點的特徵。這就是線性化理論 [ 3]
在微觀經濟學 中，決策規則 [ 4] 效用最大化 的歐拉方程 可以在平穩穩態附近進行線性化[ 4] [ 4]
在最優化 中，成本函數以及非線性成份都可以線性化，以使用一些線性的求解方式（例如單純形法 ）。最佳化的結果可以更有效率的產生，而且是決定性的全域極值 。
在多物理場 系統（系統中有多個不同物理領域的模型，彼此互相影響）中，可以針對每一個物理領域進行線性化。針對每一個物理領域的線性化可以產生線性的monolithic方程系統，可以用monolithic的迭代來求解（例如牛頓法 ）。這類的例子包括MRI scanner [ 5]
^ The linearization problem in complex dimension one dynamical systems at Scholarpedia . [2020-04-10 ] . （原始內容存檔 於2018-07-04）. ^ Linearization. The Johns Hopkins University. Department of Electrical and Computer Engineering 網際網路檔案館 的存檔 ，存檔日期2010-06-07.^ Leonov, G. A.; Kuznetsov, N. V. Time-Varying Linearization and the Perron effects. International Journal of Bifurcation and Chaos. 2007, 17 (4): 1079–1107. doi:10.1142/S0218127407017732 ^ 4.0 4.1 4.2 Moffatt, Mike. (2008) Dotdash State-Space Approach （頁面存檔備份 ，存於網際網路檔案館 ）
^ Bagwell, S.; Ledger, P. D.; Gil, A. J.; Mallett, M.; Kruip, M. A linearised hp –finite element framework for acousto-magneto-mechanical coupling in axisymmetric MRI scanners. International Journal for Numerical Methods in Engineering. 2017, 112 (10): 1323–1352. doi:10.1002/nme.5559
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![{\displaystyle [b,a]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3015146003c7dab01d939e34e07159fa9604bc3)
