算術-幾何平均數

兩個正實數 $x$ 和 $y$ 的算術-幾何平均數定義如下：

首先計算 $x$ 和 $y$ 算術平均數（相加平均），稱其為 $a_{1}$ 。然後計算 $x$ 和 $y$ 幾何平均數（相乘平均），稱其為 $g_{1}$ ；這是 $xy$ 的算術平方根。

a_{1}={\frac {x+y}{2}}

g_{1}={\sqrt {xy}}.

然後重複這個步驟，這樣便得到了兩個數列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{g_{n}\}$ ：

a_{n+1}={\frac {a_{n}+g_{n}}{2}}

g_{n+1}={\sqrt {a_{n}g_{n}}}.

這兩個數列收斂於相同的數，這個數稱為 $x$ 和 $y$ 的算術-幾何平均數，記為 $M(x,y)$ ，或 $\mathrm {agm} (x,y)$ 。

例子

欲計算 $a_{0}=24$ 和 $g_{0}=6$ 的算術-幾何平均數，首先算出它們的算術平均數和幾何平均數：

a_{1}={\frac {24+6}{2}}=15,

g_{1}={\sqrt {24\times 6}}=\,

12

然後進行迭代：

a_{2}={\frac {15+12}{2}}=13.5,

g_{2}={\sqrt {15\times 12}}=\,

13.416407864999

etc.

繼續計算，可得出以下的值：

24和6的算術-幾何平均數是兩個數列的公共極限，大約為13.45817148173。

$M(x,y)$ 是一個介於 $x$ 和 $y$ 的算術平均數和幾何平均數之間的數。

如果 $r>0$ ，則 $M(rx,ry)=rM(x,y)$ 。

$M(x,y)$ 還可以寫為如下形式：

\mathrm {M} (x,y)={\frac {\pi }{4}}\cdot {\frac {x+y}{K\left({\frac {x-y}{x+y}}\right)}}

其中 $K(x)$ 是第一類完全橢圓積分。

1和 ${\sqrt {2}}$ 的算術-幾何平均數的倒數，稱為高斯常數。

{\frac {1}{\mathrm {M} (1,{\sqrt {2}})}}=G=0.8346268\dots

由算術幾何不等式可得

g_{n}\leqslant a_{n}

因此

g_{n+1}={\sqrt {g_{n}\cdot a_{n}}}\geqslant {\sqrt {g_{n}\cdot g_{n}}}=g_{n}

這意味著 $\{g_{n}\}$ 是不降序列。同時，因為兩個數的幾何平均數是總是介於兩個數之間，又可以得到該序列是有上界的（ $x,y$ 中的較大者）。根據單調收斂定理，存在 $g$ 使得:

\lim _{n\to \infty }g_{n}=g

然而，我們又有:

a_{n}={\frac {g_{n+1}^{2}}{g_{n}}}

從而:

\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {g_{n+1}^{2}}{g_{n}}}={\frac {g^{2}}{g}}=g

證畢。

該證明由高斯首次提出^[1]。令

I(x,y)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {x^{2}\cos ^{2}\theta +y^{2}\sin ^{2}\theta }}},

將積分變量替換為 $\theta '$ , 其中

\sin \theta ={\frac {2x\sin \theta '}{(x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta '}},

於是可得

{\begin{aligned}I(x,y)&=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta '}{\sqrt {{\bigl (}{\frac {1}{2}}(x+y){\bigr )}^{2}\cos ^{2}\theta '+{\bigl (}{\sqrt {xy}}{\bigr )}^{2}\sin ^{2}\theta '}}}\\&=I{\bigl (}{\frac {1}{2}}(x+y),{\sqrt {xy}}{\bigr )}.\end{aligned}}

因此，我們有

{\begin{aligned}I(x,y)&=I(a_{1},g_{1})=I(a_{2},g_{2})=\cdots \\&=I{\bigl (}M(x,y),M(x,y){\bigr )}={\frac {\pi }{2M(x,y)}}.\end{aligned}}

最後一個等式可由 $I(z,z)={\frac {\pi }{2z}}$ 推出。

於是我們便可得到算術幾何平均數的積分表達式：

M(x,y)={\frac {\pi }{2I(x,y)}}.

^ David A. Cox. The Arithmetic-Geometric Mean of Gauss. J.L. Berggren, Jonathan M. Borwein, Peter Borwein (編). Pi: A Source Book. Springer. 2004: 481 [2014-08-12]. ISBN 978-0-387-20571-7. （原始內容存檔於2020-06-14）. first published in L'Enseignement Mathématique, t. 30 (1984), p. 275-330

Jonathan Borwein, Peter Borwein, Pi and the AGM. A study in analytic number theory and computational complexity. Reprint of the 1987 original. Canadian Mathematical Society Series of Monographs and Advanced Texts, 4. A Wiley-Interscience Publication. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1998. xvi+414 pp. ISBN 0-471-31515-X MR 1641658
埃里克·韋斯坦因. Arithmetic-Geometric mean. MathWorld.