秩—零化度定理是線性代數中的一個定理,給出了一個線性轉換或一個矩陣的秩和它的零化度之間的關係。對一個元素在體中的矩陣,秩-零化度定理說明,它的秩(rank A)和零化度(nullity A)之和等於:
同樣的,對於一個從線性空間射到線性空間的線性轉換 , 的秩是它的象的維度,的零化度是它的核(零空間)的維度。我們有:
- 也就是:
實際上定理在更廣的範圍內也成立,因為和可以是無限維的。
證明
證明的方法基於線性空間的基和同構。
設是一個有限維線性空間,其維度。對一個從射到的線性轉換,它的核是的一個子空間。設 是的一組基()。根據基擴充定理,可以被擴充為的一組基:。除了的個向量以外,另外的個向量是一組線性獨立的向量。設是它們張成的子空間,那麼是子空間與的直和:
所以,按照直和的性質,有,並且這兩個子空間的交集為。同時, 都可以寫成的形式,其中。考慮限制在上到的線性轉換:
下證是一個同構。首先由於是線性映射,所以是線性映射。只需證明它也是對射:
- 是一個單射,因為, 。
- 是一個滿射,因為, 使得,而且 ,其中。 於是 ,其中,所以是一個滿射。
既然是一個到的同構,那麼
- 綜上所述,即有:
- 也就是:
- [1]:59
其他表達形式及推廣
正合列
秩-零化度定理是抽象代數中的同態基本定理在線性空間上的表現形式。如果用更現代的語言,定理可以表示為:如果
- 0 → U → V → R → 0
- 是線性空間中的一個短正合列,那麼有:
- dim(U) + dim(R) = dim(V)
- 其中 R 表示 im T, U 表示 ker T。
在有限維的情況下,上式可以作進一步推廣。如果
- 0 → V1 → V2 → ... → Vr → 0
- 是有限維線性空間中的一個正合列,那麼有:
在有限維線性空間中,秩-零化度定理還可以用線性轉換的指標(index)描述。線性轉換的指標指的是,對於線性轉換T : V → W:
- index T = dim(ker T) - dim(coker T)
- 其中 coker T 表示 T 的餘核。正如 ker T 表示方程式 Tx = 0 線性獨立的解的「個數」, coker T 表示使得方程式 Tx = y 有解而必須加於 y 的限制條件的個數。
這時秩-零化度定理表述為:
- index T = dim(V) - dim(W)
可以看到,在這種表述下,我們可以很容易地得到 T 的指標,而不必對 T 作深入研究。更深入的結果可以參見阿蒂亞-辛格指標定理。阿蒂亞-辛格指標定理說明某些微分算子的指標可以通過涉及的空間的幾何性質得到。
參見
參考資料