泊松求和公式

泊松求和公式（英文：Poisson Summation Formula）由法國數學家泊松所發現，它陳述了一個連續時間的信號，做無限多次的週期複製後，其傅立葉級數與其傅立葉轉換之間數值的關係，亦可用來求周期信號的傅立葉轉換。

公式

設無周期函數$s(x)$具有傅立葉變換：

$S(f)\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }s(x)\ e^{-i2\pi fx}\,dx$

這裡的$S(f)$也可以替代表示為${\hat {s}}(f)$和 ${\mathcal {F}}\{s\}(f)$。有如下基本的泊松求和公式：

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }s(n)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }S(k)$

對於二者通過周期求和而得到的周期函數：

$s_{_{P}}(x)\triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }s(x+nP),\quad n\in \mathbb {Z}$

$S_{1/T}(f)\triangleq \sum _{k=-\infty }^{\infty }S(f+k/T),\quad k,T\in \mathbb {Z}$

這裡的參數$T>0$並且$P>0$，它們有著同$x$一樣的單位。有如下普遍的泊松求和公式：

$s_{_{P}}(x)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\underbrace {{\frac {1}{P}}\cdot S(k/P)} _{S[k]}\ e^{i2\pi {\frac {k}{P}}x},\quad k\in \mathbb {Z}$

這是一個傅立葉級數展開，其係數是函數$S(f)$的採樣。還有：

$S_{1/T}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\underbrace {T\cdot s(nT)} _{s[n]}\ e^{-i2\pi nTf},\quad n,T\in \mathbb {Z}$

這也叫做離散時間傅立葉變換。

推導泊松求和公式所需的先備公式

考慮狄拉克δ函數$\delta (t)$，製作一個有無限多個$\delta (t)$，且間隔為$T_{0}$的週期函數$\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT_{0})$。

其傅立葉轉換為①$\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-j2\pi nT_{0}f}=$②${\frac {1}{T_{0}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{\frac {n}{T_{0}}}\right)$

證明①轉換對

${\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT_{0})\right\}$=$\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\mathcal {F}}\left\{\delta (t-nT_{0})\right\}$ =$\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-j2\pi nT_{0}f}$。

證明②轉換對

設$c_{n}$為週期函數$\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT_{0})$的傅立葉級數。

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT_{0})$可表示為$\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}{e^{j2\pi {n{\frac {t}{T_{0}}}}}}$。

由傅立葉級數得:

$c_{n}={\frac {1}{T_{0}}}\int _{-{\frac {T_{0}}{2}}}^{\frac {T_{0}}{2}}\sum _{m=-\infty }^{\infty }\delta (t-mT_{0})e^{-j2\pi {n}{\frac {t}{T_{0}}}}dt={\frac {1}{T_{0}}}\int _{-{\frac {T_{0}}{2}}}^{\frac {T_{0}}{2}}\delta (t)e^{-j2\pi {n}{\frac {t}{T_{0}}}}dt={\frac {1}{T_{0}}}\int _{-{\frac {T_{0}}{2}}}^{\frac {T_{0}}{2}}\delta (t)e^{-j2\pi {n}{\frac {0}{T_{0}}}}dt={\frac {1}{T_{0}}}$。

因此，${\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT_{0})\right\}={\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}{e^{j2\pi {n{\frac {t}{T_{0}}}}}}\right\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{T_{0}}}{\mathcal {F}}\left\{e^{j2\pi {n{\frac {t}{T_{0}}}}}\right\}={\frac {1}{T_{0}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (f-n{\frac {1}{T_{0}}})$。

得到等式:$\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-j2\pi nT_{0}f}=$${\frac {1}{T_{0}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{\frac {n}{T_{0}}}\right)$，

經由適當的變量代換，$T_{0}$以${\frac {1}{T_{0}}}$代換，$f$以$t$代換，得$\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta \left(t-nT_{0}\right)={\frac {1}{T_{0}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-j2\pi n{\frac {1}{T_{0}}}t}={\frac {1}{T_{0}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{j2\pi n{\frac {1}{T_{0}}}t}$(因為n從負無限大到正無限大)

推導泊松求和公式

從對頻域做取樣尋找關係式

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(t-nT_{0})$

$=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(t)*\delta (t-nT_{0})$

$=x(t)*\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT_{0})$

$=x(t)*{\frac {1}{T_{0}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{j2\pi n{\frac {1}{T_{0}}}t}$

$={\frac {1}{T_{0}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(t)*e^{j2\pi n{\frac {1}{T_{0}}}t}$

$={\frac {1}{T_{0}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )e^{j2\pi n{\frac {1}{T_{0}}}(t-\tau )}d\tau$

$={\frac {1}{T_{0}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left\{[\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )e^{-j2\pi n{\frac {1}{T_{0}}}\tau }d\tau ]e^{j2\pi n{\frac {1}{T_{0}}}t}\right\}$

$={\frac {1}{T_{0}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }X({\frac {n}{T_{0}}})e^{j2\pi n{\frac {1}{T_{0}}}t}$

當$t=0$時，得$\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT_{0})={\frac {1}{T_{0}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }X({\frac {n}{T_{0}}})$，

表示一個信號的在時域以$T_{0}$為間隔做取樣，在頻域以${\frac {1}{T_{0}}}$為間隔做取樣，則兩者的所有取樣點的總和會有$T_{0}$倍的關係。

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從對時域做取樣尋找關係式

${\frac {1}{T_{0}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }X(f-{\frac {n}{T_{0}}})$

$={\frac {1}{T_{0}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }X(f)*\delta (f-{\frac {n}{T_{0}}})$

$=X(f)*[{\frac {1}{T_{0}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (f-{\frac {n}{T_{0}}})]$

$=X(f)*\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-j2\pi nT_{0}f}$

$=\sum _{n=-\infty }^{\infty }X(f)*e^{-j2\pi nT_{0}f}$

$=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }X(\lambda )e^{-j2\pi nT_{0}(f-\lambda )}d\lambda$

$=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left\{[\int _{-\infty }^{\infty }X(\lambda )e^{j2\pi nT_{0}\lambda }d\lambda ]e^{-j2\pi nT_{0}f}\right\}$

$=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT_{0})e^{-j2\pi nT_{0}f}$

當$f=0$時，得${\frac {1}{T_{0}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }X({\frac {n}{T_{0}}})=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT_{0})$，

表示一個信號的在時域以$T_{0}$為間隔做取樣，在頻域以${\frac {1}{T_{0}}}$為間隔做取樣，則兩者的所有取樣點的總和會有$T_{0}$倍的關係。

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綜合上述，若時域取樣間隔$T_{0}=1$時，同樣地，頻域取樣間隔${\frac {1}{T_{0}}}=1$時，得泊松求和公式$\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }X(k)$。

週期信號的傅立葉轉換

考慮一個週期為${T_{0}}$的週期信號$g(t)$，$G(f)$為$g(t)$的傅立葉轉換，取出g(t)在區間$[-{\frac {T_{0}}{2}},{\frac {T_{0}}{2}}]$的一個完整週期$x(t)$，亦即$x(t)=g(t)rect({\frac {t}{T_{0}}})$，$X(f)$是$x(t)$的傅立葉轉換，其中$rect(t)$是矩形函數。$a_{n}$是$g(t)$的傅立葉級數。

則$G(f)$

$={\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{j2\pi n{\frac {1}{T_{0}}}t}\right\}$

$=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}\delta (f-{\frac {n}{T_{0}}})$

$=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{T_{0}}}X({\frac {n}{T_{0}}})\delta (f-{\frac {n}{T_{0}}})$

得出一週期信號的傅立葉轉換與其傅立葉級數之間的關係。

延伸閱讀

• Benedetto, J.J.; Zimmermann, G., Sampling multipliers and the Poisson summation formula, J. Fourier Ana. App., 1997, 3 (5) [2008-06-19], （原始內容存檔於2011-05-24） 
• Gasquet, Claude; Witomski, Patrick, Fourier Analysis and Applications, Springer: 344–352, 1999, ISBN 0-387-98485-2 
• Higgins, J.R., Five short stories about the cardinal series, Bull. Amer. Math. Soc., 1985, 12 (1): 45–89 [2023-10-30], doi:10.1090/S0273-0979-1985-15293-0 , （原始內容存檔於2020-08-12）