正規數

數學上，粗略來說，正規數（Normal Number）指，數字顯示出隨機分布，且每個數字出現機會均等的實數。「數字」指的是小數點前有限個數字（整數部份），以及小數點後無窮數字序列（分數部份）。

設b是大於1的整數，x是實數。考慮以b為底的位值記數法中x的數字序列。若s是以b為底的有限數字序列，我們以N(s,n)表示字串s在x的開首n個數字出現次數。數x稱為以b為底正規，若對任意長度k的字串s

$\lim _{n\to \infty }{\frac {N(s,n)}{n}}={\frac {1}{b^{k}}}$。

（即是說在x的數字中找到字串s的概率，就像在完全隨機生成的數字序列中的一樣）。x稱為正規數（有時稱為絕對正規數），如果以任何b為底x都是正規。

這個概念是由埃米爾·博雷爾在1909年創造。用波萊爾－坎泰利引理，他證明了正規數定理：幾乎所有實數是正規的，意思是非正規數集合的勒貝格測度為0。這定理證明存在正規數，但首先給出一個例子的是瓦茨瓦夫·謝爾賓斯基（Wacław Sierpiński）。

非正規數集合是不可數的，這個結果容易得出，想法是從每個實數中完全除去一個數字。

錢珀瑙恩數（Champernowne）

0.1234567891011121314151617...

是從連結所有自然數的數字而得出的數，它以10為底正規，但可能在某些底不是正規。

克柏蘭-爾杜斯常數（Copeland-Erdős）

0.235711131719232931374143...

從連結所有質數的數字而得出的數，也是以10為底正規。

無論在任何底下均沒有為正規數的有理數，因為它們的數字序列最終會循環出現。瓦茨瓦夫·謝爾品斯基在1917年給出第一個明確構造的一個正規數。韋羅妮卡·比徹（Verónica Becher）和桑蒂亞戈·菲蓋拉(Santiago Figueira)構造一個可計算正規數；柴廷常數$\Omega$給出一個不可計算的正規數例子。

要證明一個不是明確構造為正規數的數的正規性非常困難。例如2的平方根${\sqrt {2}}$、圓周率$\pi$（2000年時數學家證明了π的2進數-正規性可以由一個有關混沌理論的合理但尚未證明的猜想導出 ）、2的自然對數$\ln 2$和e是否正規仍不知道。（但基於實驗證據，猜想它們很可能是正規數。）證明仍遙不可及：就連哪些數字在這些常數的10進表示法無窮次出現仍不知道。大衛·貝利（David H. Bailey）和理察·克蘭德爾（Richard E. Crandall）在2001年猜想每個無理代數數是正規的，雖沒有找到反例，卻還沒有一個這樣的數被證明在每個底都是正規的。

參考

• Bailey, D. H. and Crandall, R. E. "On the Random Character of Fundamental Constant Expansions." Experimental Mathematics 10, 175-190, 2001. online version
• Becher, V. and Figueira, S. "An example of a computable absolutely normal number", Theoretical Computer Science, 270, pp. 947-958, 2002.
• Borel, E. "Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmétiques." Rend. Circ. Mat. Palermo 27, 247-271, 1909.
• Champernowne, D. G. "The Construction of Decimals Normal in the Scale of Ten." Journal of the London Mathematical Society 8, 254-260, 1933.
• Sierpiński, W. "Démonstration élémentaire d'un théorème de M. Borel sur les nombres absolutment normaux et détermination effective d'un tel nombre." Bull. Soc. Math. France 45, 125-144, 1917.