歐幾里得幾何

歐幾里得

歐幾里得幾何（英語：Euclidean geometry）指按照歐幾里得的《幾何原本》構造的幾何學。

歐幾里得幾何有時就指二維平面上的幾何，即平面幾何，本文主要描述平面幾何。三維空間的歐幾里得幾何通常叫做立體幾何，高維的情形請參看歐幾里得空間。

數學上，歐幾里得幾何是二維平面和三維空間中的幾何，基於點線面公設。數學家也用這一術語表示具有相似性質的高維幾何。

其中公設五又稱之為平行公設（Parallel Axiom），敘述比較複雜，這個公設衍生出「三角形內角和等於一百八十度」的定理。在高斯（F. Gauss, 1777年—1855年）的時代，公設五就備受質疑，俄羅斯數學家羅巴切夫斯基（Nikolay Ivanovitch Lobachevski）、匈牙利數學家波約（Bolyai）闡明第五公設只是公理系統的一種可能選擇，並非必然的幾何真理，也就是「三角形內角和不一定等於一百八十度」，從而發現非歐幾里得的幾何學，即非歐幾何（non-Euclidean geometry）。

公理描述

歐幾里得證明的要素，由於一個正三角形的存在必須包含每個線段，包含ΑΒΓ等邊三角形的構成，是由Α和Β兩點，畫出圓Δ與圓Ε，並且交叉於第三點Γ上。

歐幾里得幾何的傳統描述是一個公理系統，通過有限的公理來證明所有的真命題。

歐幾里得平面幾何的五條公理（公設）是：

1. 從一點向另一點可以引一條直線。
2. 任意線段能無限延伸成一條直線。
3. 給定任意線段，可以以其一個端點作為圓心，該線段作為半徑作一個圓。
4. 所有直角都相等。
5. 若兩條直線都與第三條直線相交，並且在同一邊的內角之和小於兩個直角，則這兩條直線在這一邊必定相交。

第五條公理稱為平行公理（平行公設），可以導出下述命題：

“ 通過一個不在直線上的點，有且僅有一條不與該直線相交的直線。 ”

平行公理並不像其他公理那麼顯然。許多幾何學家嘗試用其他公理來證明這條公理，但都沒有成功。19世紀，通過構造非歐幾里得幾何，說明平行公理是不能被證明的（若從上述公理體系中去掉平行公理，則可以得到更一般的幾何，即絕對幾何）。

從另一方面講，歐幾里得幾何的五條公理（公設）並不完備。例如，該幾何中的定理：在任意直線段上可作一等邊三角形。他用通常的方法進行構造：以線段為半徑，分別以線段的兩個端點為圓心作圓，將兩個圓的交點作為三角形的第三個頂點。然而，他的公理並不保證這兩個圓必定相交。因此，許多公理系統的修訂版本被提出，其中有希爾伯特公理。

歐幾里得還提出了五個一般概念，也可以作為公理。當然，之後他還使用量的其他性質。

1. 與同一事物相等的事物相等。
2. 相等的事物加上相等的事物仍然相等。
3. 相等的事物減去相等的事物仍然相等。
4. 一個事物與另一事物重合，則它們相等。
5. 整體大於局部。

現代方法

如今，歐幾里得幾何的構造通常不是通過公理化方法，而是通過解析幾何。通過這種方法，可以像證明定理一樣證明歐幾里得幾何（或非歐幾里得幾何）中的公理。這一方法沒有公理方法那麼漂亮，但絕對簡練。

• 構造

首先，定義點的集合為實數對$(x,y)$的集合。給定兩個點$P=(x,y)$和$Q=(z,t)$，定義距離：

$|PQ|={\sqrt {(x-z)^{2}+(y-t)^{2}}}$.

這就是歐幾里得度量。所有其他概念，如直線、角、圓可以通過作為實數對的點和之間的距離來定義。例如通過點$P$和$Q$的直線可以定義成點的集合$A$滿足

$|PQ|=|PA|+|AQ|$或$|PQ|=\pm (|PA|-|AQ|)$。

經典定理

• 塞瓦定理
• 梅涅勞斯定理
• 托勒密定理
• 海倫公式
• 九點圓
• 勾股定理
• 蝴蝶定理

參見

• 非歐幾里得幾何
  • 雙曲幾何
  • 橢圓幾何