模算數

模算數或稱同餘運算（英語：Modular arithmetic）是一個整數的算術系統，其中數字超過一定值後（稱為模或餘數）後會「捲回」到較小的數值，模算數最早是出現在卡爾·弗里德里希·高斯在1801年出版的《算術研究》一書中。

模算數常見的應用是在十二小時制，將一天分為二個以十二小時計算的單位。假設現在七點，八小時後會是三點。用一般的算術加法，會得到7 + 8 = 15，但在十二小時制中，超過十二小時會歸零，不存在「十五點」。類似的情形，若時鐘目前是十二時，二十一小時後會是九點，而不是三十三點。小時數超過十二後會再回到一，為模12的模算數系統。依照上述的定義，12和12本身同餘，也和0同餘，因此12:00的時間也可以稱為是0:00，因為模12時，12和0同餘。

同餘關係

模算數可以在導入整數的同餘關係後，通過經典算數的運算法則來推導模運算的運算法則。若有兩個正整數 $a$ 和 $b$ ，並且二數的差值 $a-b$ 為 $n$ 的整數倍數，我們就可以說 $a$ 和 $b$ 在模 $n$ 下同餘。數學式表達為：^[1]

a\equiv b{\pmod {n}}\,

例如

38\equiv 14{\pmod {12}}\,

因為38 − 14 = 24，是12的倍數。

上述的概念也對負數有效：

{\begin{aligned}-8&\equiv 7{\pmod {5}}\\2&\equiv -3{\pmod {5}}\\-3&\equiv -8{\pmod {5}}.\end{aligned}}

而同餘關係也可以用計算帶餘除法中的餘數來理解。若正整數 $a$ 和 $b$ 在除以 $n$ 後的餘數相同， $a\equiv b{\bmod {m}}$ 。例如：

38\equiv 14{\pmod {12}}\,

因為38和14除以12時，餘數都為2。這是因為38 − 14 = 24是12的整數倍。

運算定律

如果 $a\equiv b{\pmod {n}}$ ， $p\equiv q{\pmod {n}}$ ， $c$ 為任何正整數，

那麼我們有以下運算定律：^[2]

a+c\equiv b+c{\pmod {n}}

a-c\equiv b-c{\pmod {n}}

ac\equiv bc{\pmod {n}}

a^{c}\equiv b^{c}{\pmod {n}}

a+p\equiv b+q{\pmod {n}}

ap\equiv bq{\pmod {n}}

綜上所述，我們在模算數里可以使用除除法以外的任何四則運算。

應用

模算數在數論、群論、環論、紐結理論、抽象代數、計算機代數、密碼學、計算機科學及化學中都有使用^[3]，也出現在視覺藝術及音樂。

模算數是數論的基礎之一，也提供了群論、環論及抽象代數中一些重要的範例。

模算數也常作為識別碼的校驗碼。例如國際銀行帳戶號碼（IBAN）就用模97的餘數來避免輸入編號時的錯誤。

在密碼學中，模算數是 RSA及迪菲-赫爾曼等公開密鑰加密系統的基礎，也提到了和橢圓曲線有關的有限域，用在許多的對稱密鑰算法中，包括高級加密標準（AES）、國際資料加密演算法（IDEA）、及RC4。RSA和迪菲-赫爾曼密鑰交換用到了模冪。

在電腦代數中，模算數常用來限制中間計算的整數係數大小，也限制計算中用到的資料。模算數用在多項式分解（英語：polynomial factorization）中（其中所有已知有效率的演算法都用到了模算數），而針對整數及有理數的多項式最大公因式（英語：polynomial greatest common divisor）、線性代數及Gröbner基（英語：Gröbner basis），最有效率解法都用到了模算數。

計算機科學中，模算數會以位操作的方式表示，也和其他定長度、循環式的資料結構有關。許多程式語言及計算器中都有模除，而XOR是二個位元在模2下的和。

化學中，表示化合物編號的CAS號，最後一碼是校驗碼，是將CAS號前二位數乘以1、下一位乘以2，再下一位乘以3……，最後對10取餘數而得。

音樂上，模12的模算數用在十二平均律的系統中，其中有純八度及異名同音的情形（例如升音符的C音和降音符的D音會視為是同一個音）。

去九法是徒手計算時快速的檢查工具，是以模9的模算數為基礎，而且其中最重要的性質是 $10\equiv 1{\pmod {9}}$ 。

模7的模算數在許多計算特定日期是星期幾的演算法中出現，特別是蔡勒公式及判決日法則（英語：doomsday algorithm）中。

模算數也用在像法律（像分配 (政治)）、經濟學（像博弈論），若一些社會科學的分析會強調資源的比例分割（英語：Proportional (fair division)）及分配，也會用到模算數。

參考資料

^ Emanuel Lazar. Math 170 lecture notes (PDF). UPenn: 73. April 30, 2016 [2021-10-23]. （原始內容存檔 (PDF)於2021-10-23）.
^ Sandor Lehoczky; Richard Rusczky. David Patrick , 編. the Art of Problem Solving Vol. 1 7. : 44. ISBN 0977304566 （英語）.
^ Sharky Kesa; et al. Modular Arithmetic. Brillant. [2021-10-23]. （原始內容存檔於2021-10-26）.

[1] Emanuel Lazar. Math 170 lecture notes (PDF). UPenn: 73. April 30, 2016 [2021-10-23]. （原始內容存檔 (PDF)於2021-10-23）.

[2] Sandor Lehoczky; Richard Rusczky. David Patrick , 編. the Art of Problem Solving Vol. 1 7. : 44. ISBN 0977304566 （英語）.

[3] Sharky Kesa; et al. Modular Arithmetic. Brillant. [2021-10-23]. （原始內容存檔於2021-10-26）.

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同餘關係

運算定律

應用

相關條目

參考資料