根軌跡圖

根軌跡圖（root locus）是控制理論及穩定性理論中，繪圖分析的方式，可以看到在特定參數（一般會是回授系統的迴路路增益）變化時，系統極點的變化。根軌跡圖是由Walter R. Evans（英語：Walter R. Evans）所發展的技巧，是經典控制理論中的穩定性判據，可以判斷線性非時變系統是否穩定。

根軌跡圖是在複數s-平面中，系統閉迴路傳遞函式的極點隨著增益參數的變化（參照極零點圖（英語：Pole–zero plot））。

用途

除了確認系統的穩定性外，根軌跡圖也可以用來設計回授系統的阻尼比（ζ）及自然頻率（ω_n）。定阻尼比的線是從原點往外延伸的線，而固定自然頻率的線是圓心在原點的圓弧。在根軌跡圖上選擇有想要的阻尼比及自然頻率的點，可以計算增益K並且實現其控制器。在許多教材科書上有利用根軌跡圖設計控制器的精細技巧，例如超前-滯後補償器、PI、PD及PID控制器都可以用此技巧來近似設計。

以上使用阻尼比及自然頻率的定義，前提是假設整個回授系統可以用二階系統來近似，也就是說系統有一對主要的複數極點，不過多半的情形都不是如此，因此在實做時仍需要針對系統再進行類比，確認符合需求。

定義

回授系統的根軌跡圖是用繪圖的方式在複數s-平面上畫出在系統參數變化時，回授系統閉迴路極點的可能位置。這些點是根軌跡圖中滿足角度條件（angle condition）的點。根軌跡圖中特定點的參數數值可以用量值條件（magnitude condition）來計算。

假設有個回授系統，輸入訊號 $X(s)$ 、輸出訊號 $Y(s)$ 。其順向路徑傳遞函式為 $G(s)$ ，回授路徑傳遞函式為 $H(s)$ 。

此系統的閉迴路傳遞函式為^[1]

T(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}={\frac {G(s)}{1+G(s)H(s)}}

因此，閉迴路傳遞函式的極點為特徵方程式 $1+G(s)H(s)=0$ 的根，方程式的根可以令 $G(s)H(s)=-1$ 來求得。

若是一個沒有純粹延遲的系統， $G(s)H(s)$ 的乘積為有理的多項式函式，可以表示為^[2]

G(s)H(s)=K{\frac {(s+z_{1})(s+z_{2})\cdots (s+z_{m})}{(s+p_{1})(s+p_{2})\cdots (s+p_{n})}}

其中 $-z_{i}$ 為 $m$ 個零點， $-p_{i}$ 為 $n$ 個極點，而 $K$ 為增益。一般而言，root locus diagram會標示在不同參數 $K$ 時，傳遞函式極點的位置。而root locus plot就會畫出針對任意 $K$ 值下，使 $G(s)H(s)=-1$ 的極點，但無法看出 $K$ 值變化時，極點移動的趨勢。

因為只有 $K$ 的係數以及簡單的單項，此有理多項式的值可以用向量的技巧來計算，也就是將量值相乘或是相除，角度相加或是相減。向量公式的由來是因為有理多項式 $G(s)H(s)$ 的每一個因式 $(s-a)$ 就表示一個s-平面下由 $a$ 到 $s$ 的向量，因此可以透過計算每一個向量的量值及角度來計算多項式。

根據矩陣數學，有理多項式的相角等於所有分子項的角度和，減去所有分母項的角度和。因此若要測試s-平面上的一點是否在根軌跡圖上，只要看開迴路的零點及極點即可，這稱為角度條件。

有理多項式的量值也是所有分子項的量值乘積，再除以所有分母項量值的乘積。若只是要確認一個s-平面上的點是否在根軌跡圖上，不需要計算有理多項式的量值，因為 $K$ 值會變，而且可以是任意的整數。針對根軌跡圖上的每一點，都可以計算其對應的 $K$ 值，此即為量值條件。

以前繪製根軌跡圖會使用名叫Spirule的特殊量角器，可以用來確認角度並且繪製根軌跡圖^[3]

根軌跡圖只能提供在增益 $K$ 變化時閉迴路極點的位置資訊。 $K$ 的數值不影響零點的位置，閉迴路零點和開迴路的零點相同。

角度條件

複數s平面上的點 $s$ 若滿足下式，即符合角度條件（angle condition）

\angle (G(s)H(s))=\pi +2k\pi

其中 $k$ 為整數。

也就是說

\sum _{i=1}^{m}\angle (s+z_{i})-\sum _{i=1}^{n}\angle (s+p_{i})=\pi +2k\pi

開迴路零點到 $s$ 點角度的和，減去開迴路極點到 $s$ 點角度的和，除 $2\pi$ 後的餘數需等於 $\pi$ 。

量值條件

在根軌跡圖上的特定點 $s$ ，數值 $K$ 若使下式成立，就符合量值條件（magnitude condition）

|G(s)H(s)|=1

也就是說

K{\frac {|s+z_{1}||s+z_{2}|\cdots |s+z_{m}|}{|s+p_{1}||s+p_{2}|\cdots |s+p_{n}|}}=1

.

繪製根軌跡圖

利用一些基本的技巧，可以用根軌跡法繪製Ｋ值變化時極點的軌跡。根軌跡圖可以看出回授系統在不同 $K$ 下的穩定性以及動態特性^[4]^[5]。其規則如下：

標示開迴路的極點及零點
將實軸上，在奇數個極點及零點左邊的線段標示下來（例如一個、三個極點及零點）。
找漸近線

令P為極點的個數，Z為零點的個數，兩者相減即為漸近線的數量：

P-Z={\text{number of asymptotes}}\,

漸近線和實軸的交點在 $\alpha$ （稱為形心），往外延伸的角度為 $\phi$ ：

\phi _{l}={\frac {180^{\circ }+(l-1)360^{\circ }}{P-Z}},l=1,2,\ldots ,P-Z

\alpha ={\frac {\sum _{P}-\sum _{Z}}{P-Z}}

其中 $\sum _{P}$ 為所有極點數值的和， $\sum _{Z}$ 為所有明確零點數值的和

根據測試點的相位條件判斷其往外延伸的角度
計算分離點（breakaway/break-in points）

根軌跡圖上的分離點（二條根軌跡圖上的軌跡相交的點）是滿足下式的根

{\frac {dG(s)H(s)}{ds}}=0{\text{ or }}{\frac {d{\overline {GH}}(z)}{dz}}=0

只要解開z，實根即為分離點，若是虛數，表示沒有分離點。

參考資料

^ Kuo 1967，第331頁.
^ Kuo 1967，第332頁.
^ Evans, Walter R., Spirule Instructions, Whittier, CA: The Spirule Company, 1965
^ Evans, W. R., Graphical Analysis of Control Systems, Trans. AIEE, January 1948, 67 (1): 547–551, ISSN 0096-3860, doi:10.1109/T-AIEE.1948.5059708
^ Evans, W. R., Control Systems Synthesis by Root Locus Method, Trans. AIEE, January 1950, 69 (1): 66–69, ISSN 0096-3860, doi:10.1109/T-AIEE.1950.5060121

Kuo, Benjamin C., Root Locus Technique, Automatic Control Systems second, Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall: 329–388, 1967, ASIN B000KPT04C, LCCN 67016388, OCLC 3805225

延伸閱讀

Ash, R. H.; Ash, G. H., Numerical Computation of Root Loci Using the Newton-Raphson Technique, IEEE Trans. Automatic Control, October 1968, 13 (5), doi:10.1109/TAC.1968.1098980
Williamson, S. E., Design Data to assist the Plotting of Root Loci (Part I), Control Magazine, May 1968, 12 (119): 404–407
Williamson, S. E., Design Data to assist the Plotting of Root Loci (Part II), Control Magazine, June 1968, 12 (120): 556–559
Williamson, S. E., Design Data to assist the Plotting of Root Loci (Part III), Control Magazine, July 1968, 12 (121): 645–647
Williamson, S. E., Computer Program to Obtain the Time Response of Sampled Data Systems, IEE Electronics Letters, May 15, 1969, 5 (10): 209–210, doi:10.1049/el:19690159
Williamson, S. E., Accurate Root Locus Plotting Including the Effects of Pure Time Delay (PDF), Proc. IEE, July 1969, 116 (7): 1269–1271, doi:10.1049/piee.1969.0235

外部連結

Wikibooks: Control Systems/Root Locus
Carnegie Mellon / University of Michigan Tutorial
Excellent examples. Start with example 5 and proceed backwards through 4 to 1. Also visit the main page
The root-locus method: Drawing by hand techniques
"RootLocs": A free multi-featured root-locus plotter for Mac and Windows platforms
"Root Locus": A free root-locus plotter/analyzer for Windows
Root Locus at ControlTheoryPro.com
Root Locus Analysis of Control Systems
MATLAB function for computing root locus of a SISO open-loop model
Wechsler, E. R., Root Locus Algorithms for Programmable Pocket Calculators (PDF), NASA: 60–64, January–March 1983 [2017-06-02], TDA Progress Report 42-73, （原始內容 (PDF)存檔於2016-12-24）
Mathematica function for plotting the root locus （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

[FOOTNOTEKuo1967331-1] Kuo 1967，第331頁.

[FOOTNOTEKuo1967332-2] Kuo 1967，第332頁.

[3] Evans, Walter R., Spirule Instructions, Whittier, CA: The Spirule Company, 1965

[4] Evans, W. R., Graphical Analysis of Control Systems, Trans. AIEE, January 1948, 67 (1): 547–551, ISSN 0096-3860, doi:10.1109/T-AIEE.1948.5059708

[5] Evans, W. R., Control Systems Synthesis by Root Locus Method, Trans. AIEE, January 1950, 69 (1): 66–69, ISSN 0096-3860, doi:10.1109/T-AIEE.1950.5060121

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用途

定義