柯西問題

柯西問題（英語：Cauchy problem）在數學中是指，在一區域內的超曲面上給定特定初始條件的情況下求偏微分方程的解。柯西問題由初值問題推廣而來，與邊值問題相對。該問題以法國數學家奧古斯丁·路易·柯西的名字命名。

假定偏微分方程定義在Rⁿ上，有一(n-1)維的光滑流形S ⊂ Rⁿ（S稱為柯西曲面）。那麼柯西問題是指求偏微分方程的解u，滿足

{\begin{aligned}u(x)&=f_{0}(x)\qquad &&{\text{for all }}x\in S;\\{\frac {\partial ^{k}u(x)}{\partial n^{k}}}&=f_{k}(x)\qquad &&{\text{for }}k=1,\ldots ,\kappa -1{\text{ and all }}x\in S,\end{aligned}}

其中 $f_{k}$ 是曲面S上的給定函數（合稱為該問題的柯西數據），n是S的法向量，κ則表示微分方程的階數。

柯西－柯瓦列夫斯卡婭定理表明柯西問題在某些特定條件下有唯一解，其中最重要的條件是柯西數據與偏微分方程的係數為實解析函數。

參考文獻

Hadamard, Jacques, Lectures on Cauchy's Problem in Linear Partial Differential Equations, Dover Phoenix editions, New York: Dover Publications, 2003 [1923] [2012-07-05], ISBN 0-486-49549-3, JFM 49.0725.04, MR 0051411, （原始內容存檔於2014-07-04）