跳至內容

杜哈梅積分

維基百科,自由的百科全書

振動理論中,杜哈梅積分(Duhamel's integral)是求解線性系統在任意外載激勵下響應的一種方法。

概要介紹

問題背景

受隨時間變化的外載p(t)和粘性阻尼作用下的線性單自由度(SDF)系統運動方程是一個二階常微分方程,可寫為

其中m為等效振子的質量,x代表系統振幅,t代表時間,c是粘性阻尼係數,k是系統剛度

若初始靜止於平衡位置的系統在t=0時刻受到一個單位衝擊載荷作用,即p(t)是一個狄拉克δ函數δ(t),,可以解得系統響應(稱為單位脈衝響應函數)為

其中稱為系統的阻尼比是系統在無阻尼狀態下振動的固有圓頻率是系統在當前存在的阻尼c作用下的實際振動圓頻率。推廣到任意時刻τ時受到衝擊載荷作用的脈衝響應為

結論導出

將任意載荷p(t)視為一系列脈衝激勵的迭加

那麼根據線性性質可知,系統的響應同樣可以表示成對這一系列脈衝激勵的響應函數迭加

時,連續求和轉化為積分,此時上面的等式是嚴格成立的

h(t-τ)的表達式代入即得杜哈梅積分的一般形式:

參考文獻

  • 倪振華 編著,《振動力學》,西安交通大學出版社,西安,1990
  • R. W. Clough, J. Penzien, Dynamics of Structures, Mc-Graw Hill Inc., New York, 1975.(中文版:R.W.克拉夫,J.彭津 著,王光遠等 譯,《結構動力學》,科學出版社,北京,1981)
  • Anil K. Chopra, Dynamics of Structures - Theory and applications to Earthquake Engineering, Pearson Education Asia Limited and Tsinghua University Press, Beijing, 2001
  • Leonard Meirovitch, Elements of Vibration Analysis, Mc-Graw Hill Inc., Singapore, 1986