在數學中，札克變換[1] [2] （英文：Zak Transform，也稱蓋爾范德映射）是一種變換，輸入是一個一元函數，輸出是一個二元函數。輸出函數稱為輸入函數的札克變換。該變換以無窮級數定義，其中每一項都是該函數的特定取值和復指數函數的乘積。在信號處理中，札克變換的輸入為時域信號，輸出是該信號的混合時頻表示。輸入信號取值可為實值或復值，可定義在連續集（如全體實數）或離散集（如整數或整數的子集）上。札克變換是離散時間傅立葉變換的推廣。 [1] [2]
札克變換在不同領域被多人獨立發現，各自命名。伊斯拉埃爾·蓋爾范德在其關於特徵函數的工作中首次引入了這一變換，因而其也被稱為蓋爾范德映射。1967年，約書亞·札克獨立地重新發現了這一變換，稱之為「k-q表示」。本領域工作者普遍稱這一變換為札克變換，因為札克首先意識到了它的應用前景，並在更一般的情況下，對其進行了更系統的研究。[1][2]
連續時間札克變換：定義
在連續時間札克變換中，假定輸入函數為實變函數，設
為實變量t的函數, 的連續時間札克變換結果為一個二元函數，其中一個變量是t ，另一個變量用w表示，可由如下多種方式定義：
定義1
設a為大於0的常數，的連續時間札克變換可定義如下：[1]
={\sqrt {a}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(at+ak)e^{-2\pi kwi}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2716c01afca29abf8e2713e17ad6ebf387863084)
定義2
在定義1中，有時取a = 1。[2] 在這種情況下，的連續時間札克變換可以簡化為：
=\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(t+k)e^{-2\pi kwi}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14c43d62184c3a075028d9c18b74292496c651fe)
定義3
有時，連續時間札克變換可由定義1簡化為不同於定義2的另一種形式。在這種形式下， 的連續時間札克變換為：
=\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(t+k)e^{-k\nu i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03e958a39d25befa4a6fd445276fc4bb970f7c44)
定義4
設T為為大於0的常數。 的連續時間札克變換也可由下式定義：[2]
={\sqrt {T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(t+kT)e^{-2\pi kwTi}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a79bff80c299271e777c4b8722027a04f18faade)
此時，t與w滿足：
, 
示例
試求如下函數的札克變換：
解：
=e^{-2\pi \lceil -t\rceil wi}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ab11bd42c3ec35805b4eec37bc3b4dcef991701)
其中
表示不小於
的最小整數（ceil函數）。
札克變換的性質
以下討論中的札克變換均採用定義二：
1.線性
設a和b為任意複數，則：
=aZ[f](t,w)+bZ[g](t,w)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33ac7575e6eeca9669b6834f6797e916830a55e4)
2.周期性
=Z[f](t,w)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/364571182e34ac8149fdc4f9694713001cb373c0)
3.准周期性
=e^{2\pi wi}Z[f](t,w)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa701c5ded113f55a854751c5404319e66ded1d7)
4.共軛性
={\overline {Z[f]}}(t,-w)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c119a4a1d4013401b61f7081987514013f66d7c)
5.對偶性
- 若是偶函數，則：
=Z[f](-t,-w)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9340d5d01aceebbb56b1b6a8371bc9c295eb9a7)
- 若是奇函數，則：
=-Z[f](-t,-w)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89e675761f9de84fa1d3d6eb74a3e21c7b1517d0)
6.卷積性
令
表示對變量t的卷積：
=Z[f](t,w)\star Z[g](t,w)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ea544b7c8197316779bb619506a5cb1f409b92c)
逆變換公式
給定函數的札克變換，原函數可用下式計算：
\,dw.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4052cca8190c1fb5fcc884030a68b685dd68f008)
離散札克變換：定義
設
是一個定義在整數域上的函數，即自變量n是一個整數，滿足
。與連續時間札克變換相同，的離散札克變換同樣是一個二元函數，其中一個自變量是
，另一個變量是一個實數，表示為
；離散札克變換同樣有不同的定義，下面給出其中一種定義方式：
定義
函數的離散札克變換，記為![{\displaystyle Z[f]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e901e66f65cb937c058578ef158093ef853b3b5)
，由下式定義，其中是一個整數：
=\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(n+k)e^{-2\pi kwi}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76b8e17b2749a8f92d67b64212b5f07d98c3e7f1)
逆變換公式
給定函數的離散札克變換 ，原函數可用下式計算：
\,dw.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b88f2f755b0afd39e0a95f0c142fddff20caa30d)
應用
札克變換在物理學中的量子場論、 [3]電氣工程中信號的時頻表示與數字通信中均有應用。
參考文獻
