曼德博集合(英語:Mandelbrot set,或譯為曼德布洛特複數集合)是一種在複數平面上組成碎形的點的集合,以數學家本華·曼德博的名字命名。曼德博集合與朱利亞集合有些相似的地方,例如使用相同的複二次多項式來進行疊代。
定義
曼德博集合可以用複二次多項式來定義:
其中 是一個複數參數。
從 開始對 進行疊代:
每次疊代的值依序如以下序列所示:
不同的參數 可能使序列的絕對值逐漸發散到無限大,也可能收斂在有限的區域內。
曼德博集合 就是使序列不延伸至無限大的所有複數 的集合。
特性
相關的定理
定理一
若 ,則
證明:
假設 為真
則
第一步:
當 時
因為
由以上可得知
第二步:
假設 成立
由上式可得知
由數學歸納法可得知對於所有的n(n=1,2,...), 皆比 小。
當n趨近無限大時 依然沒有發散,所以 ,故得證。
定理二
若 ,則
證明:
假設
則
第一步:
當 時
由 ,左右同乘 再減去 可得到下式
由以上可得知
第二步:
假設 成立,則
因為
由 ,左右同乘 再減去 可得到下式
由以上可得知
由數學歸納法可得知 ,可看出隨著疊代次數增加 逐漸遞增並發散。
假如不發散,則收斂於某個常數,
由 再取極限得 即 。
又 ,矛盾,故發散。
所以若 ,則 ,故得證。
定理三
若 ,則
證明:
要證明若 ,則
首先分別探討 與 兩種情形
由定理二可知道 且 時, 。
接著要證明 時的情況:
假設 ,因為 ,所以 ,而
因為
由 ,左右同乘 再減去 可得到下式
由以上可得知
由數學歸納法可得知 ,可看出隨著疊代次數增加 逐漸遞增並發散。
所以在 且 的情況下也是 。
綜合上述可得知不論 為多少
若 ,則 ,故得證。
利用定理三可以在程式計算時快速地判斷 是否會發散。
計算的方法
曼德博集合一般用電腦程式計算。對於大多數的碎形軟體,例如Ultra fractal,內部已經有了比較成熟的例子。下面的程序是一段偽代碼,表達了曼德博集合的計算思路。
For Each c in Complex
repeats = 0
z = 0
Do
z = z^2 + c
repeats = repeats + 1
Loop until abs(z) > EscapeRadius or repeats > MaxRepeats '根据定理三,EscapeRadius可设置为2。
If repeats > MaxRepeats Then
Draw c,Black '如果迭代次数超过MaxRepeats,就将c认定为属于曼德博集合,并设置为黑色。
Else
Draw c,color(z,c,repeats) 'color函数用来决定颜色。
End If
Next
決定顏色的一些方法
- 直接利用循環終止時的Repeats
- 綜合利用z和Repeats
- Orbit Traps
mand = Compile[{{z0, _Complex}, {nmax, _Integer}},
Module[{z = z0, i = 1},
While[i < nmax && Abs[z] <= 2, z = z^2 + z0; i++]; i]];
ArrayPlot[
Reverse@Transpose@
Table[mand[x + y I, 500], {x, -2, 2, 0.01}, {y, -2, 2, 0.01}]]
各種圖示
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參考資料