拉格朗日方程式

約瑟夫·拉格朗日

拉格朗日方程式（Lagrange equation），因數學物理學家約瑟夫·拉格朗日而命名，是分析力學的重要方程式，可以用來描述物體的運動，特別適用於理論物理的研究。拉格朗日方程式的功能相當於牛頓力學中的牛頓第二定律。

定義

假設一個物理系統符合完整系統的要求，即所有廣義座標都互相獨立，則拉格朗日方程式成立：

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {q} }}=\mathbf {0} \,\!$；

其中，${\mathcal {L}}(\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }},\ t)\,\!$是拉格朗日量，$\mathbf {q} =\left(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N}\right)\,\!$是廣義座標，是時間$t\,\!$的函數，${\dot {\mathbf {q} }}=\left({\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},\ldots ,{\dot {q}}_{N}\right)\,\!$是廣義速度。

導引

在分析力學裏，有三種方法可以導引出拉格朗日方程式。最原始的方法是使用達朗貝爾原理導引出拉格朗日方程式（參閱達朗貝爾原理）；更進階層面，可以從哈密頓原理推導出拉格朗日方程式（參閱哈密頓原理）；最簡明地，可以借用數學變分法的尤拉-拉格朗日方程式來推導：

設定函數$\mathbf {y} (x)\,\!$和$f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} }},\ x)\,\!$：

$\mathbf {y} (x)=(y_{1}(x),\ y_{2}(x),\ \ldots ,y_{N}(x))\,\!$、

${\dot {\mathbf {y} }}(x)=({\dot {y}}_{1}(x),\ {\dot {y}}_{2}(x),\ \ldots ,\ {\dot {y}}_{N}(x))\,\!$、

$f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} }},\ x)=f(y_{1}(x),\ y_{2}(x),\ \ldots ,\ y_{N}(x),\ {\dot {y}}_{1}(x),\ {\dot {y}}_{2}(x),\ \ldots ,\ {\dot {y}}_{N}(x),\ x)\,\!$；

其中，$x\,\!$是自變數（independent variable）。

若$\mathbf {y} (x)\in (C^{1}[a,\ b])^{N}\,\!$使泛函$J(\mathbf {y} )=\int _{a}^{b}f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} }},\ x)dx\,\!$取得局部平穩值，則在區間$(a,\ b)\,\!$內，尤拉-拉格朗日方程式成立：

${\frac {d}{dx}}\left({\frac {\partial }{\partial {\dot {y}}_{i}}}f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} }},\ x)\right)-{\frac {\partial }{\partial y_{i}}}f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} }},\ x)=0\ ,\qquad \qquad \qquad \qquad i=1,\ 2,\ \ldots ,\ N\!$。

現在，執行下述轉換：

• 設定獨立變數$x\,\!$為時間$t\,\!$、
• 設定函數$y_{i}\,\!$為廣義坐標$q_{i}\,\!$、
• 設定泛函$f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} }},\ x)\,\!$為拉格朗日量${\mathcal {L}}(\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }},\ t)\,\!$，

則可得到拉格朗日方程式

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {q} }}=\mathbf {0} \,\!$。

• 為了滿足這轉換的正確性，廣義坐標必須互相獨立，所以，這系統必須是完整系統。
• 拉格朗日量是動能減去位勢，而位勢必須是廣義位勢。所以，這系統必須是單演系統。

半完整系統

主項目：參閱半完整系統

一個不是完整系統的物理系統是非完整系統，不能用上述形式論來分析。假若，一個非完整系統的約束可以以方程式表示為

$g_{i}(\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }})=0\ ,\qquad \qquad \qquad i=1,\ 2,\ 3,\ \dots n\,\!$；

則稱此系統為半完整系統。

半完整系統可以用拉格朗日形式論來分析。更具體地說，分析半完整系統必須用到拉格朗日乘子$\lambda _{i}\,\!$：

$\sum _{i=1}^{n}\ \lambda _{i}g_{i}=0\,\!$；

其中，$\lambda _{i}=\lambda _{i}(\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }},\ t)\,\!$是未知函數。

由於這$N\,\!$個廣義坐標中，有$n\,\!$個相依的廣義坐標，泛函$f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} }},\ x)\,\!$不能直接被轉換為拉格朗日量${\mathcal {L}}\,\!$；必須加入拉格朗日乘子，將泛函$f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} }},\ x)\,\!$轉換為${\mathcal {L}}+\sum _{i=1}^{n}\ \lambda _{i}g_{i}\,\!$。這樣，可以得到拉格朗日廣義力方程式：

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {q} }}={\boldsymbol {\mathcal {F}}}\,\!$；

其中，${\boldsymbol {\mathcal {F}}}\,\!$是廣義力，${\boldsymbol {\mathcal {F}}}={\frac {\partial }{\partial \mathbf {q} }}\left(\sum _{i=1}^{n}\ \lambda _{i}g_{i}\right)-{\frac {d}{dt}}\left[{\frac {\partial }{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\left(\sum _{i=1}^{n}\ \lambda _{i}g_{i}\right)\right]\,\!$。

這$N\,\!$個廣義力運動方程式加上$n\,\!$個約束方程式，給出$N+n\,\!$個方程式來解$N\,\!$個未知廣義坐標與$n\,\!$個拉格朗日乘子。

實例

這個段落會展示拉格朗日方程式的兩個應用實例。第一個實例展示出，用牛頓方法與拉格朗日方法所得的答案相同。第二個實例展示出拉格朗日方法的威力，因為這問題比較不適合用牛頓方法來分析。

自由落體

思考一個粒子從靜止狀態自由地下落。由於重力$F=mg\,\!$作用於此粒子，應用牛頓第二定律，可以得到運動方程式

${\ddot {x}}=g\,\!$；

其中，x-坐標垂直於地面，由初始點（原點）往地面指。

這個結果也可以從拉格朗日形式論得到。動能$T\,\!$是

$T={\frac {1}{2}}mv^{2}\,\!$，

位勢$V\,\!$是

$V=-mgx\,\!$；

所以，拉格朗日量${\mathcal {L}}\,\!$是

${\mathcal {L}}=T-V={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}+mgx\,\!$ 。

將${\mathcal {L}}\,\!$代入拉格朗日方程式，

$0={\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x}}=m{\frac {d{\dot {x}}}{dt}}-mg\,\!$。

運動方程式是

${\ddot {x}}=g\,\!$；

與牛頓方法的運動方程式相同。

具有質量的移動支撐點的簡單擺

思考一個簡單擺系統。系統的x-軸平行於地面，y-軸垂直於x-軸，指向地面。擺錘P的質量是$m\,\!$，位置是$(x,\ y)\,\!$。擺繩的長度是$l\,\!$。擺的支撐點Q的質量是$M\,\!$。這支撐點Q可以沿著一條平行於x-軸的直線移動。點Q的位置是$(X,\ 0)\,\!$。擺繩與y-軸的夾角是$\theta \,\!$。那麼，動能是

$T={\frac {1}{2}}M{\dot {X}}^{2}+{\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}\right)\,\!$，

位勢為

$V=-mgy\,\!$。

所以，拉格朗日量是

${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}M{\dot {X}}^{2}+{\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}\right)+mgy\,\!$。

兩個約束方程式為

$x=X+l\sin \theta \,\!$、

$y=l\cos \theta \,\!$。

將約束方程式代入拉格朗日量方程式,

${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}M{\dot {X}}^{2}+{\frac {1}{2}}m\left[\left({\dot {X}}+l{\dot {\theta }}\cos \theta \right)^{2}+\left(l{\dot {\theta }}\sin \theta \right)^{2}\right]+mgl\cos \theta \,\!$。

特別注意，在這裏，廣義坐標是$X\,\!$與$\theta \,\!$。應用拉格朗日方程式，經過微分運算，對於$X\,\!$坐標，可以得到

${\frac {d}{dt}}\left[(M+m){\dot {X}}+ml{\dot {\theta }}\cos \theta \right]=0\,\!$。

運動方程式為

$(M+m){\ddot {X}}+ml{\ddot {\theta }}\cos \theta -ml{\dot {\theta }}^{2}\sin \theta =0\,\!$。

由於拉格朗日量不顯含廣義坐標$X\,\!$，稱$X\,\!$為可略坐標，而其相對應的廣義動量$p_{X}\,\!$是常數$K_{1}\,\!$：

$p_{X}=(M+m){\dot {X}}+ml{\dot {\theta }}\cos \theta =K_{1}\,\!$。

對於$\theta \,\!$坐標，可以得到

${\frac {d}{dt}}\left[m(l^{2}{\dot {\theta }}+{\dot {X}}l\cos \theta )\right]+m({\dot {X}}l{\dot {\theta }}+gl)\sin \theta =0\,\!$；

所以，運動方程式為

${\ddot {\theta }}+{\frac {\ddot {X}}{l}}\cos \theta +{\frac {g}{l}}\sin \theta =0\,\!$。

假如用牛頓第二定律，則必須仔細地辨明所有的相關作用力。這是一項既困難又容易出錯的工作。

相關條目

• 拉格朗日量
• 拉格朗日力學
• 哈密頓力學
• 牛頓力學
• 變分法