恆等函數

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恆等函數（英語：Identity function）是數學中對於傳回和其輸入值相同的函數的稱呼。換句話說，恆等函數為函數 $f(x)~=~x$ 。

各種函數
$x \mapsto f (x)$
不同定義域和陪域
$X$ → $\mathbb {B}$ , $\mathbb {B}$ → $X$ , $\mathbb {B} ^{n}$ → $\mathbb {B}$ $X$ →（英語：integer-valued function） $\mathbb {Z}$ , $\mathbb {Z} ^{+}$ → $X$ $X$ →（英語：real-valued function） $\mathbb {R}$ , $\mathbb {R}$ → $X$ , $\mathbb {R} ^{n}$ →（英語：function of several real variables） $X$ $X$ →（英語：complex-valued function） $\mathbb {C}$ , $\mathbb {C}$ → $X$ , $\mathbb {C} ^{n}$ →（英語：Function of several complex variables） $X$
函數類/性質
常值恆等線性多項式有理代數解析光滑連續可測單射滿射雙射
構造
限制複合 λ 逆
推廣
偏（英語：Partial function）多值隱
閱論編

定義

設M為一集合，於M上的恆等函數f被定義於一具有定義域和陪域M的函數，其對任一M內的元素x，會有 $f(x)=x$ 的關係。

於M上的恆等函數f通常標記為 $\operatorname {Id} _{m}$ 或 ${1}_{m}$ 。

代數性質

設f : M → N為任一函數，則會有f o id_M = f = id_N o f（其中"o"為函數複合）。特別地是，id_M會是所有由M至M的函數所組成之么半群的單位元。

因為么半群的單位元是唯一的，也可以反過來把M上的恆等函數定義為這個么半群的單位元。此一定義廣義化成了於範疇論中恆等態射的概念，其中M的自同態並不必然是函數。

例子

於正整數上的恆等函數為一數論中的完全積性函數。
在任意一個 n 維向量空間內，恆等函數表示成單位矩陣I_n，不論其基為何。
在任意一個度量空間，恆等函數很當然地為等距同構。一無任何對稱的物件會有一對稱群，即只包含這個恆等函數的平凡群C₁。

參見

內含映射

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