廣義速度

拉格朗日力學時常涉及廣義速度。假設一個物理系統的廣義坐標是$(q_{1},\ q_{2},\ q_{3},\ \dots ,\ q_{N})\,\!$，表示廣義速度為$({\dot {q}}_{1},\ {\dot {q}}_{2},\ {\dot {q}}_{3},\ \dots ,\ {\dot {q}}_{N})\,\!$。廣義速度定義為廣義坐標對於時間$t\,\!$的導數：

${\dot {q}}_{i}={dq_{i} \over dt}\,\!$。

與動能的關係

在三維空間裏，一個質量為$m\,\!$、速度為$\mathbf {v} \,\!$的粒子的動能是

$T={\frac {1}{2}}mv^{2}\,\!$。

速度是位置$\mathbf {r} \,\!$對於時間$t\,\!$的導數。應用偏微分連鎖律，可以得到

$\mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=\sum _{i}\ {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\,\!$；

其中，$q_{i}\,\!$是第$i\,\!$個廣義坐標，${\dot {q}}_{i}\,\!$是對應的廣義速度。

所以，

$T={\frac {1}{2}}m\left(\sum _{i}\ {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\right)^{2}\,\!$。

將方程式展開，動能可以分為三個項目表示：

$T=T_{0}+T_{1}+T_{2}\,\!$；

其中，

$T_{0}={\frac {1}{2}}m\left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\right)^{2}\,\!$，

$T_{1}=\sum _{i}\ m{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}\,\!$，

$T_{2}=\sum _{i,j}\ {\frac {1}{2}}m{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j},\!$。

$T_{0}\,\!$、$T_{1}\,\!$、$T_{2}\,\!$分別為廣義速度${\dot {q}}_{i}\,\!$的0次、1次、2次齊次函數。如果這系統是定常系統，位置不顯性地含時間，${\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}=0\,\!$，則只有$T_{2}\,\!$不等於零。所以，$T=T_{2}\,\!$，動能是廣義速度的2次齊次函數。

參閱

• 拉格朗日力學
• 哈密頓力學
• 虛功
• 廣義力