查爾斯·庫侖的肖像 本條目中，向量 與純量 分別用粗體 與斜體 顯示。例如，位置向量通常用
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
r
{\displaystyle r\,\!}
檢驗變數或場變數 的標記的後面沒有單撇號「
′
{\displaystyle '\,\!}
′
{\displaystyle '\,\!}
庫侖定律 （Coulomb's law）為法國 物理學家查爾斯·庫侖 於1785年發現的物理學定律；庫侖證明兩帶電體間有交互作用力，且其定量關係可以方程式 表示。庫侖定律是電學 發展史上的第一個定量規律，電學的研究從此由定性進入定量 階段，是電學史上重要里程碑。
庫侖定律表明，在真空中兩個靜止點電荷 之間的交互作用力，與兩電荷間距離 的平方成反比 ，且與兩電荷電量 的乘積成正比 ，作用力方向在它們的連線上，同號電荷相斥，異號電荷相吸。庫侖定律的標量形式可以表示為
F
=
k
e
q
q
′
r
2
{\displaystyle F=k_{e}{qq' \over r^{2}}}
其中，
F
{\displaystyle F}
k
e
{\displaystyle k_{e}}
庫侖常數 ，
q
{\displaystyle q}
q
′
{\displaystyle q'}
r
{\displaystyle r}
在真空中，庫倫定律可以表達為
F
=
q
q
′
4
π
ε
0
r
2
{\displaystyle F={qq' \over 4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}
其中，
ε
0
{\displaystyle \varepsilon _{0}}
電容率 。
庫侖扭秤 （torsion balance ）示意圖。庫侖使用扭秤來測量兩個點電荷彼此互相作用的靜電力，因此發現庫侖定律。 早在1760年，丹尼爾·白努利 就曾懷疑靜電的吸引行為遵循平方反比定律。[ 1] :51
1766年，英格蘭化學家和物理學家約瑟夫·普利斯特里 收到好友班傑明·富蘭克林 來信告知他的一項新發現：將軟木塞球置入帶電金屬杯內部後，軟木塞球不會出現任何異樣行為。富蘭克林希望普利斯特里重複做這實驗以檢試這事實是否正確。因此，普利斯特里設計出並完成了一個實驗，該實驗顯示，帶電空心金屬容器的內部表面並未帶有任何電荷，測量不出任何靜電力。他於是在隔年發布推論，電荷之間的交互作用力具有類似於萬有引力的平方反比形式，這是因為，假若地球的形狀是一個空心球殼，則在其內部的物體不會感受到一邊的吸引力強過於另一邊地吸引力。[ 2] :731-733 [ 3] :99-100
蘇格蘭物理學家約翰·羅比遜 於1769年首次通過實驗直接觀測到，兩個帶電球體彼此之間作用於對方的物理行為，他發現，兩個帶電球體之間的作用力與它們之間距離的2.06次方成反比。很可惜的是，羅比遜並未察覺這發現的重要性。[ 3] :100-101
1770年代早期，著名英國物理學家亨利·卡文迪什 通過巧妙的實驗，得出了帶電體之間的作用力依賴於帶電量與距離，並得出靜電力與距離的
2
±
1
50
{\displaystyle 2\pm {\frac {1}{50}}}
[ 4]
後來，馬克士威 利用與卡文迪什類似的方法，得出靜電力與距離的
2
±
1
21600
{\displaystyle 2\pm {\frac {1}{21600}}}
[ 4]
庫侖定律是電學的基本定律，其中平方反比關係是否精確成立尤其重要，而根據現代量子場論，靜電力的平方反比關係是與光子的靜質量是否精確為零相關的，所以，對靜電力的平方反比關係的精確驗證，關係著現代物理學基本理論的基礎。當前對庫侖定律平方反比關係的驗證越來越精確，如1971年進行的一次實驗，給出庫侖定律與平方反比關係的偏差小於
2.7
×
10
−
16
{\displaystyle 2.7\times 10^{-16}}
[ 5]
該圖描述了庫侖定律的基本原理：同號電荷 相互排斥，異號電荷相互吸引。 庫侖定律的純量 形式只描述兩個點電荷彼此交互作用的靜電力的大小。一個電量為
q
′
{\displaystyle q'}
q
{\displaystyle q}
F
{\displaystyle F}
F
=
k
e
q
q
′
r
2
{\displaystyle F=k_{\mathrm {e} }{\frac {qq'}{r^{2}}}}
其中，
r
{\displaystyle r}
k
e
{\displaystyle k_{\mathrm {e} }}
庫侖常數 [ 6]
庫侖常數與真空電容率 的關係方程式為
k
e
=
1
4
π
ε
0
=
c
0
2
μ
0
4
π
=
c
0
2
×
10
−
7
H
m
−
1
=
8.987
551
787
368
176
4
×
10
9
N
m
2
C
−
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}k_{\text{e}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}={\frac {c_{0}^{2}\mu _{0}}{4\pi }}&=c_{0}^{2}\times 10^{-7}\ \mathrm {H\ m} ^{-1}\\&=8.987\ 551\ 787\ 368\ 176\ 4\times 10^{9}\ \mathrm {N\ m^{2}\ C} ^{-2}.\end{aligned}}}
正值的
F
{\displaystyle F}
[ 6]
採用國際單位制 ，真空電容率
ϵ
0
{\displaystyle \epsilon _{0}}
8.854
187
817
×
10
−
12
{\displaystyle 8.854\ 187\ 817\times 10^{-12}}
F ·m −1 [ 7] 厘米-克-秒制 ，單位電荷 （esu ），又稱為靜庫侖 （statcoulomb ），定義為使庫侖常數
k
e
{\displaystyle k_{\mathrm {e} }}
庫侖定律的純量公式表明，力量的大小直接地與兩個點電荷的電量成正比，又與兩個點電荷之間距離的平方成反比。根據實驗數據，距離的指數，與
−
2
{\displaystyle -2}
[ 8]
給予兩個電量分別為
q
{\displaystyle q}
q
′
{\displaystyle q'}
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
r
′
{\displaystyle \mathbf {r} '}
q
′
{\displaystyle q'}
q
{\displaystyle q}
F
{\displaystyle \mathbf {F} }
F
=
1
4
π
ϵ
0
q
q
′
(
r
−
r
′
)
|
r
−
r
′
|
3
{\displaystyle \mathbf {F} ={\cfrac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\cfrac {qq'\ (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}}
假若兩個點電荷同性（電荷的正負號相同），則其電量的乘積
q
q
′
{\displaystyle qq'}
q
q
′
{\displaystyle qq'}
根據勞侖茲力定律 ，
F
=
q
[
E
+
v
×
B
]
{\displaystyle \mathbf {F} =q[\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} ]}
其中，
F
{\displaystyle \mathbf {F} }
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
假設，電荷靜止不動：
v
=
0
{\displaystyle \mathbf {v} =0}
則
F
=
q
E
{\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {E} }
所以，一個電量為
q
′
{\displaystyle q'}
r
′
{\displaystyle \mathbf {r} '}
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
E
=
1
4
π
ϵ
0
q
′
(
r
−
r
′
)
|
r
−
r
′
|
3
{\displaystyle \mathbf {E} ={1 \over 4\pi \epsilon _{0}}{\frac {q'\ (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}}
假若電荷是正值，電場的方向是從點電荷以徑向朝外指出；假若是負值，則電場的方向是反方向。電場的單位是V /m 或N /C 。
由
N
{\displaystyle N}
q
{\displaystyle q}
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
疊加原理 來計算：
F
=
q
4
π
ϵ
0
∑
i
=
1
N
q
i
′
(
r
−
r
i
′
)
|
r
−
r
i
′
|
3
{\displaystyle \mathbf {F} ={\cfrac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}\sum _{i=1}^{N}{\cfrac {q_{i}'\ (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}'|^{3}}}}
其中，
q
i
′
{\displaystyle q_{i}'}
r
i
′
{\displaystyle \mathbf {r} _{i}'}
i
{\displaystyle i}
對於一個連續電荷分佈，我們可以將每一個無窮小的空間元素視為一個電量為
d
q
{\displaystyle dq}
線電荷分佈（例如，一根帶電的直線）的電量為
d
q
′
=
λ
(
r
′
)
d
l
′
{\displaystyle dq'=\lambda (\mathbf {r^{\prime }} )dl^{\prime }}
其中，
λ
(
r
′
)
{\displaystyle \lambda (\mathbf {r^{\prime }} )}
r
′
{\displaystyle \mathbf {r^{\prime }} }
線電荷密度 （每單位長度所帶的電量），
d
l
′
{\displaystyle dl^{\prime }}
表面電荷分佈（例如，兩平行金屬板電容器 的一片帶電的金屬板）的電量為
d
q
′
=
σ
(
r
′
)
d
a
′
{\displaystyle dq'=\sigma (\mathbf {r^{\prime }} )da^{\prime }}
其中，
σ
(
r
′
)
{\displaystyle \sigma (\mathbf {r^{\prime }} )}
r
′
{\displaystyle \mathbf {r^{\prime }} }
d
a
′
{\displaystyle da^{\prime }}
體積電荷分佈（例如，一個帶電的圓球）的電量為
d
q
′
=
ρ
(
r
′
)
d
τ
′
{\displaystyle dq'=\rho (\mathbf {r^{\prime }} )d\tau ^{\prime }}
其中，
ρ
(
r
′
)
{\displaystyle \rho (\mathbf {r^{\prime }} )}
r
′
{\displaystyle \mathbf {r^{\prime }} }
d
τ
′
{\displaystyle d\tau ^{\prime }}
作用於一個電量為
q
{\displaystyle q}
F
{\displaystyle \mathbf {F} }
F
(
r
)
=
q
∫
d
q
′
r
−
r
′
|
r
−
r
′
|
3
{\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=q\int dq'\ {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime }}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime }|^{3}}}}
其中，
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
d
q
′
{\displaystyle dq'}
r
′
{\displaystyle \mathbf {r} ^{\prime }}
在上述兩種表述裏，只有當點電荷是處於固定狀態的時候，庫侖定律才是完全正確的；假若點電荷處於緩慢的運動狀態，則只能說庫侖定律是大概正確。這條件稱為靜電近似 。當幾個點電荷處於相對運動狀態的時候，根據愛因斯坦 的相對論 ，會有磁場產生，這連帶地改變了作用於點電荷的力量。
位於
r
′
{\displaystyle \mathbf {r^{\prime }} }
q
′
{\displaystyle q'}
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
q
{\displaystyle q}
電荷性質
關係
場性質
向量
作用力
F
=
1
4
π
ϵ
0
q
q
′
(
r
−
r
′
)
|
r
−
r
′
|
3
{\displaystyle \mathbf {F} ={1 \over 4\pi \epsilon _{0}}{\cfrac {qq'\ (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}}
F
=
q
E
{\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {E} }
電場
E
=
1
4
π
ϵ
0
q
′
(
r
−
r
′
)
|
r
−
r
′
|
3
{\displaystyle \mathbf {E} ={1 \over 4\pi \epsilon _{0}}{\cfrac {q'\ (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}}
關係
F
=
−
∇
U
{\displaystyle \mathbf {F} =-\mathbf {\nabla } U}
E
=
−
∇
V
{\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla V}
純量
電位能
U
=
1
4
π
ϵ
0
q
q
′
|
r
−
r
′
|
{\displaystyle U={1 \over 4\pi \epsilon _{0}}{qq' \over |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}
U
=
q
V
{\displaystyle U=qV}
電位
V
=
1
4
π
ϵ
0
q
′
|
r
−
r
′
|
{\displaystyle V={1 \over 4\pi \epsilon _{0}}{q' \over |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}
^ Whittaker, E. T., A history of the theories of aether and electricity. Vol 1 , Nelson, London, 1951 ^ Priestley, Joseph, The History and Present State of Electricity, with Original Experiments , London, England, 1775, May we not infer from this experiment, that the attraction of electricity is subject to the same laws with that of gravitation, and is therefore according to the squares of the distances; since it is easily demonstrated, that were the earth in the form of a shell, a body in the inside of it would not be attracted to one side more than another? ^ 3.0 3.1
Robert S. Elliott. Electromagnetics: History, Theory, and Applications. 1999. ISBN 978-0-7803-5384-8
^ 4.0 4.1 James Maxwell, ed., The Electrical Researches of the Honourable Henry Cavendish ...（Cambridge, England: Cambridge University Press, 1879）, pages 104-113 （頁面存檔備份 ，存於網際網路檔案館 ）: "Experiments on Electricity: Experimental determination of the law of electric force."
^ Williams, E. R.; J. E. Faller, H. A. Hill, New Experimental Test of Coulomb's Law: A Laboratory Upper Limit on the Photon Rest Mass , Physics Review Letters, 1971, 26 (12): 721–724, doi:10.1103/PhysRevLett.26.721 ^ 6.0 6.1 *喬治亞州州立大學 （Georgia State University ）線上物理網頁：庫侖常數 （頁面存檔備份 ，存於網際網路檔案館 ）
^ 美國國家標準與科技研究所網頁：真空電容率 （頁面存檔備份 ，存於網際網路檔案館 ）
^
Williams, Faller, Hill, New Experimental Test of Coulomb's Law: A Laboratory Upper Limit on the Photon Rest Mass , 物理報導期刊 , 1971, 26 : 721–724
![{\displaystyle \mathbf {F} =q[\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e7f8def9f10f2a407f31be56ee10d04c691e613)
