柏拉圖分布

柏拉圖分布

機率密度函數
累積分布函數
母數	xm > 0 k > 0
值域	$x\in [x_{\mathrm {m} };+\infty )\!$
機率密度函數	${\frac {k\,x_{\mathrm {m} }^{k}}{x^{k+1}}}\!$
累積分布函數	$1-\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{x}}\right)^{k}\!$
期望值	${\frac {k\,x_{\mathrm {m} }}{k-1}}\!$，$k>1$
中位數	$x_{\mathrm {m} }{\sqrt[{k}]{2}}$
眾數	$x_{\mathrm {m} }\,$
變異數	${\frac {x_{\mathrm {m} }^{2}k}{(k-1)^{2}(k-2)}}\!$，$k>2$
偏度	${\frac {2(1+k)}{k-3}}\,{\sqrt {\frac {k-2}{k}}}\!$，$k>3$
峰度	${\frac {6(k^{3}+k^{2}-6k-2)}{k(k-3)(k-4)}}\!$，$k>4$
熵	$\ln \left({\frac {k}{x_{\mathrm {m} }}}\right)-{\frac {1}{k}}-1\!$
動差母函數	未定義
特徵函數	$k(-ix_{\mathrm {m} }t)^{k}\Gamma (-k,-ix_{\mathrm {m} }t)\,$

柏拉圖分布(Pareto distribution)是以義大利經濟學家維爾弗雷多·柏拉圖命名的。 是從大量真實世界的現象中發現的冪定律分布。這個分布在經濟學以外，也被稱為布拉德福分布。

在柏拉圖分布中，如果X是一個隨機變數， 則X的機率分布如下面的公式所示：

${\rm {P}}(X>x)=\left({\frac {x}{x_{\min }}}\right)^{-k}$

其中x是任何一個大於x_min的數，x_min是X最小的可能值（正數），k是為正的母數。柏拉圖分布曲線族是由兩個數量母數化的：x_min和k。分布密度則為

$p(x)=\left\{{\begin{matrix}0,&{\mbox{if }}x<x_{\min };\\\\{k\;x_{\min }^{k} \over x^{k+1}},&{\mbox{if }}x>x_{\min }.\end{matrix}}\right.$

柏拉圖分布屬於連續機率分布。 「齊夫定律」, 也稱為「zeta 分布」, 也可以被認為是在離散機率分布中的柏拉圖分布。 一個遵守柏拉圖分布的隨機變數的期望值為 $x_{\min }\;k \over k-1$ (如果 $k\leq 1$, 期望值為無窮大) 且隨機變數的標準差為 ${x_{\min } \over k-1}{\sqrt {k \over k-2}}$ (如果 $k\leq 2$, 標準差不存在)。

被認為大致是柏拉圖分布的例子有：

• 財富在個人之間的分布
• 人類居住區的大小
• 對維基百科條目的訪問
• 接近絕對零度時，玻色–愛因斯坦凝聚的團簇
• 在網際網路流量中文件尺寸的分布
• 油田的石油儲備數量
• 龍捲風帶來的災難的數量

參見

• 柏拉圖法則
• 柏拉圖插值

外部連結

• William J. Reed: 柏拉圖，吉普夫和其他冪次定律 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Guerriero, V. (2012). "Power Law Distribution: Method of Multi-scale Inferential Statistics". Journal of Modern Mathematics Frontier (JMMF) 1: 21–28. （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）