希爾伯特符號

在數學中，如果給定一個局部域 $K$ ，比如說實數域或p-進數域，設其去掉0後的乘法群為K^×，則希爾伯特符號是一個關於K^×的由互反律抽離而來的代數建構。希爾伯特符號得名於數學家大衛·希爾伯特。

具體來說，希爾伯特符號是一個從 K^× × K^× 射到 {−1,1} 的函數 $h(\cdot ,\cdot )$ ：

$h\left(a,b\right)={\begin{cases}\;\;\,+1\\\;\;\,-1\end{cases}}$	如果方程 $z^{2}=ax^{2}+by^{2}$ 有非零的正整數解 $(x,y,z)$
	如果方程 $z^{2}=ax^{2}+by^{2}$ 只有零解

.

；

.

性質

由定義可以直接得到希爾伯特符號的三個性質：

如果 $a$ 是完全平方數，那麼對任意的 $b$ ，都有 $h(a,b)=1$ 。
對 $\mathbf {K} ^{\times }$ 中任意 $a$ 、 $b$ ， $h(a,b)=h(b,a)$ 。
如果 $a\in \mathbf {K} ^{\times }$ 而且 $a-1\in \mathbf {K} ^{\times }$ ，那麼 $h(a,1-a)=1$ 。