完全不連通空間

在拓撲學和相關的數學分支中，完全不連通空間是沒有非平凡連通子集的拓撲空間。在所有拓撲空間中空集和單點集合是連通的，而在完全不連通空間中它們是僅有的連通子集，在此意義上，完全不連通空間是極大不連通。

完全不連通空間的重要例子是康托爾集合。另一個例子是在代數數論中扮演關鍵角色的p進數的域 Q_p。

定義

拓撲空間 X 是完全不連通，如果在 X 中的連通分支是單點集合。

例子

下面是完全不連通空間的例子:

• 離散空間。
• 有理數空間。
• 無理數空間。
• p進數。更一般的說預有限群都是完全不連通的。
• 康托爾集合.
• Baire空間.
• Sorgenfrey線。
• 零維 T₁ 空間。
• Stone空間。
• Knaster-Kuratowski扇。

性質

• 完全不連通空間的子空間、乘積和余積是完全不連通的。
• 完全不連通空間是 T₁ 空間，因為點都是閉合的。
• 完全不連通空間的連續像不必然是完全不連通的，事實上，所有緊緻度量空間是康托爾集合的連續像。
• 局部緊緻豪斯多夫空間是零維的，若且唯若它是完全不連通的。
• 所有完全不連通緊緻度量空間同胚於離散空間的可數乘積的子集。

引用

• Willard, Stephen, General topology, Dover Publications, 2004, ISBN 978-0-486-43479-7, MR2048350 

參見

• 完全不連通群。