複合卜瓦松分布

在機率論中，複合卜瓦松分布（英語：compound Poisson distribution）是指一些獨立同分布的隨機變數的和的機率分布，而這些隨機變數的個數服從卜瓦松分布。在最簡單的情形下，複合卜瓦松分布可以是連續分布或者離散分布。

定義

假設

N\sim \operatorname {Poisson} (\lambda ),

也就是說，N是一個隨機變數，其分布為期望值為λ的卜瓦松分布，且

X_{1},X_{2},X_{3},\dots

為同分布的隨機變數，他們相互獨立，且與N也獨立。則在變量個數（ $N$ ）給定的條件下，這 $N$ 個獨立同分布的隨機變數和的機率分布：

Y|N=\sum _{n=1}^{N}X_{n}

是一個良定的分布。N = 0時，Y也為0，此時Y | N=0有退化的分布。

複合卜瓦松分布可以通過將(Y,N)的聯合分布在N上邊際化而得到，而聯合分布可以通過結合條件分布Y | N和N的邊際分布而得到。

複合卜瓦松分布的均值和變異數可以簡單地從全期望值公式和全變異數公式推導出來。即

\operatorname {E} _{Y}(Y)=\operatorname {E} _{N}\left[\operatorname {E} _{Y|N}(Y)\right]=\operatorname {E} _{N}\left[N\operatorname {E} _{X}(X)\right]=\operatorname {E} _{N}(N)\operatorname {E} _{X}(X),

\operatorname {Var} _{Y}(Y)=E_{N}\left[\operatorname {Var} _{Y|N}(Y)\right]+\operatorname {Var} _{N}\left[E_{Y|N}(Y)\right]=\operatorname {E} _{N}\left[N\operatorname {Var} _{X}(X)\right]+\operatorname {Var} _{N}\left[N\operatorname {E} _{X}(X)\right]),

則

\operatorname {Var} _{Y}(Y)=\operatorname {E} _{N}(N)\operatorname {Var} _{X}(X)+\left(\operatorname {E} _{X}(X)\right)^{2}\operatorname {Var} _{N}(N).

因為N是卜瓦松的，則有E(N)=Var(N)，再略去一些不必要的下標，上述公式可化簡為

\operatorname {E} (Y)=\operatorname {E} (N)\operatorname {E} (X),

\operatorname {Var} (Y)=E(N)(\operatorname {Var} (X)+{E(X)}^{2})=E(N){E(X^{2})}.

Y的機率分布可以由其特徵函數決定：

\varphi _{Y}(t)=\operatorname {E} \left(e^{itY}\right)=\operatorname {E} _{N}\left(\left(\operatorname {E} \left(e^{itX}\right)\right)^{N}\right)=\operatorname {E} _{N}\left(\left(\varphi _{X}(t)\right)^{N}\right),\,

因此，使用卜瓦松分布的機率生成函數，

\varphi _{Y}(t)={\textrm {e}}^{\lambda (\varphi _{X}(t)-1)}.\,

一個速率為 $\lambda >0$ ，增量分布為G的複合卜瓦松過程是一個連續時間隨機過程 $\{\,Y(t):t\geq 0\,\}$ ，定義如下

Y(t)=\sum _{i=0}^{N(t)}D_{i}

其中， $\{\,N(t):t\geq 0\,\}$ 是一個速率為 $\lambda$ 的卜瓦松過程， $\{\,D_{i}:i\geq 0\,\}$ 是獨立同分布的隨機變數，其分布為G，與 $\{\,N(t):t\geq 0\,\}$ 獨立。

複合卜瓦松分布廣泛用於精算學和保險業，用來對總索賠額 $Y$ 進行建模， $Y$ 是隨機的 $N$ 個獨立同分布的索賠額X₁, X₂, ... , X_N的和。